Tiek saukta pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trīsstūris.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Taisnleņķa trijstūra asā leņķa kosinuss
Tiek saukta tuvākās kājas attiecība pret hipotenūzu asā leņķa kosinuss taisnleņķa trīsstūris.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa pieskare
Tiek saukta pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju asā leņķa tangenss taisnleņķa trīsstūris.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss
Tiek saukta blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kāju akūta leņķa kotangenss taisnleņķa trīsstūris.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Patvaļīga leņķa sinuss
Tiek izsaukta vienību apļa punkta ordināta, kurai atbilst leņķis \alpha patvaļīga leņķa sinuss rotācija \alpha .
\sin \alpha=y
Patvaļīga leņķa kosinuss
Vienības apļa punktā, kuram atbilst leņķis \alpha, tiek izsaukta abscisa patvaļīga leņķa kosinuss rotācija \alpha .
\cos \alpha=x
Patvaļīga leņķa tangenss
Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa sinusa attiecība pret tā kosinusu patvaļīga leņķa tangensa rotācija \alpha .
tg \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Patvaļīga leņķa kotangenss
Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa kosinusa attiecība pret tā sinusu patvaļīga leņķa kotangenss rotācija \alpha .
ctg \alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Patvaļīga leņķa atrašanas piemērs
Ja \alpha ir kāds leņķis AOM , kur M ir punkts uz vienības apļa, tad
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Piemēram, ja \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tad: punkta M ordināta ir -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa ir \frac(\sqrt(2))(2) un tāpēc
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Kotangenšu pieskares sinusu un kosinusu vērtību tabula
Galveno bieži sastopamo leņķu vērtības ir norādītas tabulā:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\left(\pi\right) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360 ^(\circ)\left(2\pi\right) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Mēs sākam trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūta leņķa pieskare un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.
Atgādiniet to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar . Citiem vārdiem sakot, puse no atlocītā stūra.
Ass stūris- mazāks.
Strups leņķis- lielāks. Saistībā ar šādu leņķi "strupu" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)
Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Parasti tiek apzīmēts taisns leņķis. Ņemiet vērā, ka sānu, kas atrodas pretī stūrim, apzīmē ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim.
Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.
Hipotenūza Taisnstūris ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.
Kājas- malas pretī asiem stūriem.
Kāju, kas atrodas pretī stūrim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā stūra pusē, sauc blakus.
Sinus akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: asā leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret pretējo (vai, līdzvērtīgi, kosinusa un sinusa attiecība):
Pievērsiet uzmanību sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa pamatattiecībām, kas norādītas zemāk. Tie mums noderēs problēmu risināšanā.
Pierādīsim dažus no tiem.
1. Jebkura trijstūra leņķu summa ir . nozīmē, taisnleņķa trijstūra divu asu leņķu summa ir .
2. No vienas puses, kā pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. No otras puses, tā kā leņķim kāja būs blakus.
Mēs to saņemam. Citiem vārdiem sakot, .
3. Veikt Pitagora teorēmu: . Sadalīsim abas daļas ar:
Mēs saņēmām pamata trigonometriskā identitāte:
Tādējādi, zinot leņķa sinusu, mēs varam atrast tā kosinusu un otrādi.
4. Sadalot abas galvenās trigonometriskās identitātes daļas ar , iegūstam:
Tas nozīmē, ka, ja mums ir dota akūta leņķa tangenss, mēs varam nekavējoties atrast tā kosinusu.
Tāpat
Labi, mēs esam devuši definīcijas un rakstiskas formulas. Bet kāpēc mums ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir.
Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .
Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot divas taisnleņķa trīsstūra malas, jūs varat atrast trešo. Tātad leņķiem - to attiecība, sāniem - savs. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno) un viena mala, bet jāatrod citas malas?
Ar to cilvēki saskārās pagātnē, veidojot apgabala kartes un zvaigžņotās debesis. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.
Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī leņķa trigonometriskās funkcijas- norādiet attiecību starp ballītēm un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, jūs varat atrast visas tā trigonometriskās funkcijas, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.
Mēs arī sastādīsim sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtību tabulu "labiem" leņķiem no līdz.
Ievērojiet tabulā divas sarkanās svītras. Atbilstošajām leņķu vērtībām tangenss un kotangenss nepastāv.
Analizēsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.
1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.
Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.
Kopš , mums ir: .
2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast. , ir vienāds ar puse no hipotenūzas.
Trijstūris ar leņķiem , Un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.
Instrukcija
1. metode. Pitagora teorēmas izmantošana. Teorēma saka: hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. No tā izriet, ka jebkuru no taisnleņķa trijstūra malām var aprēķināt, zinot tā pārējās divas malas (2. att.)
2. metode. No tā izriet, ka mediāna, kas novilkta no līdz hipotenūzai, veido 3 līdzīgus trīsstūrus savā starpā (3. att.). Šajā attēlā trīsstūri ABC, BCD un ACD ir līdzīgi.
6. piemērs: vienību apļu izmantošana koordinātu atrašanai
Vispirms atrodam norādītajam leņķim atbilstošu atskaites leņķi. Tad mēs ņemam atskaites leņķa sinusa un kosinusa vērtības un piešķiram tām zīmes, kas atbilst kvadranta y un x vērtībām. Tālāk mēs atradīsim dotā leņķa kosinusu un sinusu.
Sietu leņķis, leņķa trīsstūris un kuba sakne
Daudzstūri, kurus var izveidot ar kompasu un taisnvirzienu, ietver.Piezīme: sieta leņķi nevar uzzīmēt ar kompasu un taisngriezi. Reizinot kuba malas garumu ar kuba sakni no 2, tiek iegūts kuba malas garums ar dubultu tilpumu. Izmantojot franču matemātiķa Evaristas Galuā novatorisko teoriju, var parādīt, ka visām trim klasiskajām problēmām konstruēšana ar apli un lineālu nav iespējama.
Hipotenūza ir taisnleņķa trijstūra mala, kas atrodas pretī 90 grādu leņķim. Lai aprēķinātu tā garumu, pietiek zināt vienas kājas garumu un viena trijstūra akūtā leņķa vērtību.
Paturiet prātā: trīskomponentu leņķa un kuba saknes konstrukcija nav iespējama ar kompasu un taisngriezi. 
Savukārt trešās pakāpes vienādojuma atrisinājumu pēc Kardano formulas var attēlot, dalot leņķi un kuba sakni. Nākotnē mēs izveidosim kādu leņķi ar apli un lineālu. Taču pēc šī leņķa trīsstūra un kuba saknes noteikšanas sieta kvadrāta konstrukcijas pabeigšanu var veikt ar kompasa un taisnes palīdzību.
Režģa klāja izbūve saskaņā ar šo aprēķinu
Konstrukcijas problēmas algebriskā formulēšana noved pie vienādojuma, kura struktūras analīze sniegs papildu informāciju par trīskāršās struktūras uzbūvi. Šeit tiek izmantota leņķa un tā kosinusa attiecība viens pret vienu: ja ir zināms leņķa lielums, leņķa kosinusa garumu var unikāli konstruēt uz vienības apļa un otrādi.
Instrukcija
Ar zināmu kāju un taisnleņķa trijstūra akūtu leņķi hipotenūzas izmērs var būt vienāds ar kājas attiecību pret šī leņķa kosinusu / sinusu, ja šis leņķis ir pretējs / blakus tam:
h = C1(vai C2)/sinα;
h = С1(vai С2)/cosα.
Piemērs: Dots taisnleņķa trijstūris ar hipotenūzu AB un taisnleņķi C. Leņķis B ir 60 grādi un leņķis A 30 grādi. Kājas BC garums ir 8 cm. Atrodi hipotenūzas AB garumu. Lai to izdarītu, varat izmantot jebkuru no iepriekš ieteiktajām metodēm:
Šis viens pret vienu uzdevums ļauj pāriet no leņķa definīcijas uz leņķa kosinusa definīciju. Turpmāk 3 φ apzīmē sadalāmo leņķi. Tādējādi φ ir leņķis, kura vērtība ir jānosaka dotajiem 3 φ. Sākot ar savienojumiem, kas pazīstami no trigonometrijas.
Seko noteiktā leņķī 3 φ. Trīsdimensiju vienādojuma atrisināmības algebrisks apsvērums tieši noved pie jautājuma par risinājumu konstruēšanas iespējamību un līdz ar to arī pie jautājuma par konkrēta leņķa konstruktīva trīskāršā leņķa iespējamību vai neiespējamību.
AB=BC/cos60=8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Hipotenūza ir taisnleņķa trijstūra mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim. Tā ir taisnleņķa trijstūra garākā mala. To var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu vai trigonometrisko funkciju formulas.
Izejas leņķa vērtībai ir liela ietekme uz iespēju sasaistīt trešo leņķi, jo tas kā absolūts termins izšķiroši nosaka trīsdimensiju vienādojuma risinājumu veidu. Ja triangulācijas vienādojumam ir vismaz viens reāls risinājums, ko var iegūt ar racionālām darbībām vai zīmēšanu kvadrātsaknes dotajam sākuma leņķim šis risinājums ir konstruktīvs.
Breidenbahs kā kritēriju formulēja, ka trīs sekunžu leņķi var interpretēt tikai trīsdaļīga vienādojuma racionālā risinājumā. Ja šāds risinājums nav pieejams, trīsdaļīgās konstrukcijas problēma nav savienojama ar kompasu un lineālu. Klasteru analīze ir vispārīga metode mazu grupu apkopošanai no lielas datu kopas. Līdzīgi kā diskriminanta analīze, arī klasteru analīze tiek izmantota, lai klasificētu novērojumus grupās. No otras puses, diskriminējošai analīzei ir nepieciešamas zināšanas par piederību grupām gadījumos, kas izmantoti klasifikācijas noteikuma iegūšanai.
Instrukcija
Kājas sauc par taisnleņķa trijstūra malām, kas atrodas blakus taisnam leņķim. Attēlā kājas ir apzīmētas kā AB un BC. Ļaujiet norādīt abu kāju garumus. Apzīmēsim tos kā |AB| un |BC|. Lai atrastu hipotenūzas garumu |AC|, mēs izmantojam Pitagora teorēmu. Saskaņā ar šo teorēmu kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu, t.i. mūsu zīmējuma apzīmējumā |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. No formulas iegūstam, ka hipotenūzas AC garums ir atrodams kā |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
Klasteru analīze ir primitīvāka metode, jo tā nesniedz nekādus pieņēmumus par grupu skaitu vai grupas piederību. Klasifikācijas klasteru analīze nodrošina veidu, kā atklāt iespējamās attiecības un izveidot sistemātisku struktūru lielā skaitā mainīgie un novērojumi. Hierarhiskā klasteru analīze ir galvenā statistiskā metode relatīvi viendabīgu gadījumu kopu atrašanai, pamatojoties uz izmērītajiem raksturlielumiem. Tas sākas ar katru gadījumu kā atsevišķu kopu.
Pēc tam kopas tiek apvienotas secīgi, kopu skaits samazinās ar katru soli, līdz paliek tikai viens klasteris. Klasterizācijas metode klasteru veidošanai izmanto atšķirības starp objektiem. Hierarhiskā klasteru analīze ir vislabākā maziem paraugiem.
Apsveriet piemēru. Lai kāju garums |AB| = 13, |BC| = 21. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs iegūstam, ka |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. no numura 610: |AC| = √610. Izmantojot veselo skaitļu kvadrātu tabulu, mēs uzzinām, ka skaitlis 610 nav ideāls jebkura vesela skaitļa kvadrāts. Lai iegūtu hipotenūzas garuma galīgo vērtību, mēģināsim izņemt pilnu kvadrātu no zem saknes zīmes. Lai to izdarītu, mēs sadalām skaitli 610 faktoros. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Saskaņā ar pirmskaitļu tabulu mēs redzam, ka 61 ir pirmskaitlis. Tāpēc turpmāka skaitļa √610 samazināšana nav iespējama. Mēs saņemam galīgo atbildi |AC| = √610.
Ja hipotenūzas kvadrāts būtu, piemēram, 675, tad √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ja šāds metiens ir iespējams, veiciet apgriezto pārbaudi - rezultātu kvadrātā un salīdziniet ar sākotnējo vērtību.
Hierarhiskā klasteru analīze ir tikai viens no veidiem, kā novērot viendabīgu mainīgo grupu veidošanos. Nav konkrēta veida, kā iestatīt klasteru skaitu analīzei. Jums var būt nepieciešams apskatīt dendrogrammu, kā arī klasteru raksturlielumus un pēc tam pakāpeniski pielāgot skaitli, lai iegūtu labu klastera risinājumu.
Ja mainīgie tiek mērīti dažādās skalās, jums ir trīs veidi, kā standartizēt mainīgos. Rezultātā visi mainīgie ar aptuveni vienādām proporcijām veicina attāluma mērīšanu, pat ja jūs varat zaudēt informāciju par mainīgo lielumu dispersiju.
Paziņojiet mums vienu no kājām un tai blakus esošo leņķi. Noteiktības labad lai tā būtu kāja |AB| un leņķis α. Tad varam izmantot trigonometriskās funkcijas kosinusu formulu - leņķa kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu. Tie. mūsu apzīmējumā cos α = |AB| / |AC|. No šejienes mēs iegūstam hipotenūzas garumu |AC| = |AB| / cosα.
Ja zinām kāju |BC| un leņķi α, tad izmantojam leņķa sinusa aprēķina formulu - leņķa sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu: sin α = |BC| / |AC|. Mēs iegūstam, ka hipotenūzas garums ir atrodams kā |AC| = |BC| / cosα.
Eiklīda attālums: Eiklīda attālums ir visizplatītākā mērīšanas metode. Eiklīda attālums kvadrātā: Eiklīda attālums kvadrātā koncentrē uzmanību uz objektiem, kas atrodas tālāk viens no otra. Pilsētas kvartāla attālums: gan pilsētas kvartāli, gan Eiklīda attālums ir īpaši Minkovska metrikas gadījumi. Kamēr Eiklīda attālums atbilst īsākā ceļa garumam starp diviem punktiem, pilsētas kvartāla attālums ir attālumu summa katrā dimensijā. Pīrsona korelācijas attālums Starpība starp 1 un divu novērojumu kosinusa koeficientu Kosinuss ir leņķa kosinuss starp diviem vektoriem. Žakarda attālums Atšķirība starp 1 un Žakarda koeficientu diviem novērojumiem Binārajiem datiem Žakarda koeficients ir vienāds ar pārklāšanās apjoma un divu novērojumu summas attiecību. Tuvākais kaimiņš Šī metode pieņem, ka attālums starp diviem klasteriem atbilst attālumam starp objektiem to tuvākajā apkārtnē. Labākais kaimiņš Šajā metodē attālums starp diviem klasteriem atbilst maksimālajam attālumam starp diviem objektiem dažādās kopās. Grupas vidējais: izmantojot šo metodi, attālums starp diviem klasteriem atbilst vidējam attālumam starp visiem objektu pāriem dažādās kopās. Šī metode parasti ir ieteicama, jo tā satur lielāku informācijas daudzumu. Mediāna Šī metode ir identiska centroīda metodei, izņemot to, ka tā ir nesvērta. Pēc tam katram gadījumam tiek aprēķināts kvadrātiskais Eiklīda attālums līdz klastera vidējiem. Apvienojamais klasteris ir tas, kas vismaz palielina summu. Tas nozīmē, ka šī metode samazina pieaugumu kopējā summa kvadrātu attālumi klasteros. Šī metode mēdz veidot mazākas kopas.
- Tas ir ģeometrisks attālums daudzdimensiju telpā.
- Tas ir piemērots tikai nepārtrauktiem mainīgajiem.
- Kosinusa attālums Leņķa kosinuss starp diviem vērtību vektoriem.
- Šī metode ir ieteicama, zīmējot zīmētas kopas.
- Ja uzzīmētie klasteri veido unikālus "kopus", metode ir piemērota.
- Klastera centroīds ir viduspunkts daudzdimensiju telpā.
- To nevajadzētu izmantot, ja kopu izmēri ir ļoti atšķirīgi.
- Katram klasterim tiek aprēķinātas Ward Mean vērtības visiem mainīgajiem.
- Šie attālumi tiek summēti visos gadījumos.
Skaidrības labad apsveriet piemēru. Lai kājas garums |AB| = 15. Un leņķis α = 60°. Mēs iegūstam |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Apsveriet, kā jūs varat pārbaudīt rezultātu, izmantojot Pitagora teorēmu. Lai to izdarītu, mums jāaprēķina otrā posma garums |BC|. Izmantojot formulu leņķa pieskarei tg α = |BC| / |AC|, iegūstam |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Tālāk mēs pielietojam Pitagora teorēmu, iegūstam 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Pārbaude ir veikta.
Sinusa funkcija ir definēta no sinusa jēdziena, ņemot vērā, ka leņķis vienmēr ir jāizsaka radiānos. Mēs varam novērot vairākus sinusoidālās funkcijas raksturlielumus.
- Jūsu domēnā ir viss reālais.
- Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka funkcija ir periodiska ar periodu 2π.
Mēs varam novērot vairākus kosinusa funkcijas raksturlielumus. Tādējādi šis ir periodisks periods 2π. . Ierobežojums neatceļ formulas vispārīgumu, jo mēs vienmēr varam samazināt otrā, trešā un ceturtā kvadranta leņķus uz pirmo. Vingrinājums. - Aprēķiniet 15º sinusu, neizmantojot kalkulatoru.
Pēc hipotenūzas aprēķināšanas pārbaudiet, vai iegūtā vērtība atbilst Pitagora teorēmai.
Avoti:
- Pirmskaitļu tabula no 1 līdz 10000
Kājas nosauciet taisnleņķa trīsstūra divas īsās malas, kas veido tā virsotni, kuras vērtība ir 90 °. Trešo malu šādā trīsstūrī sauc par hipotenūzu. Visas šīs trīsstūra malas un leņķi ir savstarpēji saistīti ar noteiktām attiecībām, kas ļauj aprēķināt kājas garumu, ja ir zināmi vairāki citi parametri.
Divu leņķu summas kosinuss
Divu leņķu starpības kosinuss
Lai iegūtu formulu, mēs varam rīkoties tāpat kā iepriekšējā sadaļā, bet mēs redzēsim vēl vienu ļoti vienkāršu demonstrāciju, kas balstīta uz Pitagora teorēmu. Vienkāršojot un mainot zīmi, mēs to darām Pieskares summa un divu leņķu starpība.Vingrinājums. Šodienas rakstā mēs apskatīsim ļoti specifisku apakškopu: trigonometriskās funkcijas. Lai izbaudītu visu, ko piedāvā matemātika, mums tas ir jāimportē. Nākamajā rakstā mēs redzēsim citus importēšanas stilus, un katram no tiem ir savas priekšrocības un trūkumi. Bet ar šo vienkāršo norādījumu jums jau ir piekļuve visai matemātikas moduļa nosaukumvietai, kas piepildīta ar desmitiem funkciju, tostarp tās, ar kurām mēs šodien nodarbosimies.
Instrukcija
Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai aprēķinātu kājas garumu (A), ja zināt taisnleņķa trijstūra pārējo divu malu (B un C) garumu. Šī teorēma nosaka, ka kāju garumu summa kvadrātā ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu. No tā izriet, ka katras kājas garums ir vienāds ar kvadrātsakne no hipotenūzas un otrā posma garumu kvadrātu starpības: A=√(C²-B²).
Būtībā mums būs jāaprēķina leņķa sinuss, kosinuss un tangenss, kā arī tā apgrieztās funkcijas. Turklāt mēs vēlētos, lai mēs varētu strādāt gan radiānos, gan grādos, lai mēs varētu izmantot arī atbilstošās konvertēšanas funkcijas.
Ņemiet vērā, ka šīs funkcijas paredz, ka arguments tiks norādīts radiānos, nevis grādos. Šajā nolūkā jums būs interesanti uzzināt, ka jums ir šāda konstante. Tātad mēs varam izmantot šo izteiksmi skaitliskās vērtības vietā.
Kosekantam, sekantam un kotangensam nav tiešas funkcijas, jo tas nav nepieciešams, jo tie vienkārši ir attiecīgi sinusa, kosinusa un tangensa apgrieztā vērtība. Tāpat kā iepriekš, arī atgrieztais leņķis ir radiānos. Vēl viena noderīga matemātikas funkcija ļauj mums uzzināt taisnleņķa trijstūra hipotenūzas vērtību, ņemot vērā tā kājas, kas ļauj aprēķināt kvadrātsakni no to kvadrātu summas.
Izmantojiet tiešās trigonometriskās funkcijas "sinuss" definīciju akūtam leņķim, ja zināt leņķa vērtību (α) pretī aprēķinātajam posmam un hipotenūzas garumu (C). Šī definīcija nosaka, ka šī zināmā leņķa sinuss ir vienāds ar vēlamās kājas garuma attiecību pret hipotenūzas garumu. Tas nozīmē, ka vēlamās kājas garums ir vienāds ar hipotenūzas garuma un zināmā leņķa sinusa reizinājumu: A=C∗sin(α). Tādām pašām zināmajām vērtībām var izmantot kosekantu funkcijas definīciju un aprēķināt vēlamo garumu, dalot hipotenūzas garumu ar zināmā leņķa A=C/cosec(α) kosekantu.
Izmantojiet tiešās trigonometriskās funkcijas kosinusa definīciju, ja papildus hipotenūzas garumam (C) ir zināma arī vēlamajai kājai blakus esošā asā leņķa (β) vērtība. Šī leņķa kosinuss tiek definēts kā vēlamās kājas un hipotenūzas garumu attiecība, un no tā mēs varam secināt, ka kājas garums ir vienāds ar hipotenūzas garuma un zināmās kosinusa reizinājumu. leņķis: A=C∗cos(β). Varat izmantot sekanta funkcijas definīciju un aprēķināt vēlamo vērtību, dalot hipotenūzas garumu ar zināmā leņķa A=C/sek(β) sekanti.
Atvasiniet nepieciešamo formulu no līdzīgas definīcijas trigonometriskās funkcijas pieskares atvasinājumam, ja papildus akūtā leņķa (α) vērtībai, kas atrodas pretī vēlamajam posmam (A), otrā posma (B) garums ir zināms. Leņķa pieskare, kas atrodas pretī vēlamajai kājai, ir šīs kājas garuma attiecība pret otrās kājas garumu. Tas nozīmē, ka vēlamā vērtība būs vienāda ar zināmās kājas garuma un zināmā leņķa pieskares reizinājumu: A=B∗tg(α). No šiem pašiem zināmajiem daudzumiem var iegūt citu formulu, izmantojot kotangentes funkcijas definīciju. Šajā gadījumā, lai aprēķinātu kājas garumu, būs jāatrod zināmās kājas garuma attiecība pret zināmā leņķa kotangensu: A=B/ctg(α).
Saistītie video
Vārds "katet" krievu valodā nāca no grieķu valodas. Precīzā tulkojumā tas nozīmē svērteni, tas ir, perpendikulāri zemes virsmai. Matemātikā kājas sauc par malām, kas veido taisnleņķa trijstūra taisnu leņķi. Šim leņķim pretējo pusi sauc par hipotenūzu. Termins "kāja" tiek izmantots arī arhitektūrā un metināšanas tehnoloģijā.
Uzzīmējiet taisnleņķa trīsstūri ACB. Apzīmējiet tās kājas a un b, kā arī tās hipotenūzu c. Visas taisnleņķa trīsstūra malas un leņķus savieno noteiktas attiecības. Kājas, kas atrodas pretī vienam no asajiem leņķiem, attiecību pret hipotenūzu sauc par šī leņķa sinusu. Šajā trīsstūrī sinCAB=a/c. Kosinuss ir attiecība pret blakus esošās kājas hipotenūzu, t.i., cosCAB=b/c. Apgrieztās attiecības sauc par sekantu un kosekantu.
Šī leņķa sekantu iegūst, dalot hipotenūzu ar blakus esošo kāju, tas ir, secCAB=c/b. Izrādās kosinusa apgrieztais skaitlis, tas ir, to var izteikt ar formulu secCAB=1/cosSAB.
Kosekants ir vienāds ar hipotenūzas dalīšanas koeficientu ar pretējo kāju un ir sinusa apgrieztā vērtība. To var aprēķināt, izmantojot formulu cosecCAB=1/sinCAB
Abas kājas savieno tangenss un kotangenss. Šajā gadījumā tangenss būs malas a attiecība pret pusi b, tas ir, pretējā kāja blakus esošajai. Šo attiecību var izteikt ar formulu tgCAB=a/b. Attiecīgi apgrieztā attiecība būs kotangenss: ctgCAB=b/a.
Attiecību starp hipotenūzas un abu kāju izmēriem noteica sengrieķu matemātiķis Pitagors. Viņa vārdā nosaukto teorēmu cilvēki izmanto joprojām. Tajā teikts, ka hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu, tas ir, c2 \u003d a2 + b2. Attiecīgi katra kāja būs vienāda ar kvadrātsakni no hipotenūzas un otras kājas kvadrātu starpības. Šo formulu var uzrakstīt kā b=√(c2-a2).
Kājas garumu var izteikt arī ar jums zināmajām attiecībām. Saskaņā ar sinusu un kosinusu teorēmām, kāja ir vienāda ar hipotenūzas un vienas no šīm funkcijām reizinājumu. To var izteikt arī kā tangensu vai kotangensu. Kāju a var atrast, piemēram, pēc formulas a \u003d b * tan CAB. Tieši tādā pašā veidā, atkarībā no dotā tangensa vai kotangensa, tiek noteikts otrais posms.
Arhitektūrā tiek lietots arī termins "kāja". Tas tiek piemērots jonu galvaspilsētai un apzīmē svērteni caur muguras vidusdaļu. Tas ir, šajā gadījumā šis termins apzīmē perpendikulu noteiktai līnijai.
Metināšanas tehnoloģijā pastāv jēdziens "kājas šuve". Tāpat kā citos gadījumos, šis ir īsākais attālums. Šeit ir runa par atstarpi starp vienu no metināmajām daļām līdz šuves robežai, kas atrodas uz otras daļas virsmas.
Saistītie video
Avoti:
- kas ir kāja un hipotenūza
Saistītie video
Piezīme
Aprēķinot taisnleņķa trijstūra malas, zināšanas par tā iezīmēm var spēlēt:
1) Ja taisnā leņķa kāja atrodas pretī 30 grādu leņķim, tad tas ir vienāds ar pusi no hipotenūzas;
2) hipotenūza vienmēr ir garāka par jebkuru no kājām;
3) Ja ap taisnstūra trīsstūri ir norobežots aplis, tad tā centram jāatrodas hipotenūzas vidū.
Kur tika izskatīti taisnleņķa trijstūra risināšanas uzdevumi, apsolīju iepazīstināt ar tehniku, kā iegaumēt sinusa un kosinusa definīcijas. Izmantojot to, jūs vienmēr ātri atcerēsities, kura kāja pieder hipotenūzai (blakus vai pretējai). Nolēmu neatlikt uz nenoteiktu laiku, nepieciešamais materiāls zemāk, lūdzu izlasi 😉
Fakts ir tāds, ka esmu vairākkārt novērojis, kā 10.-11. klases skolēniem ir grūtības atcerēties šīs definīcijas. Viņi ļoti labi atceras, ka kāja attiecas uz hipotenūzu, bet kuru viņi aizmirst un apjucis. Kļūdas cena, kā jūs zināt eksāmenā, ir zaudēts rezultāts.
Informācijai, ko es pasniegšu tieši matemātikai, nav nekāda sakara. Tas ir saistīts ar tēlaino domāšanu un verbāli-loģiskās saiknes metodēm. Pareizi, es pats, reiz par visām reizēm atcerējos definīcijas dati. Ja jūs joprojām tos aizmirstat, tad ar piedāvāto paņēmienu palīdzību to vienmēr ir viegli atcerēties.
Ļaujiet man atgādināt sinusa un kosinusa definīcijas taisnleņķa trīsstūrī:
Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Sinus akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Tātad, kādas asociācijas jūsos raisa vārds kosinuss?
Droši vien katram ir savs Atcerieties saiti:
Tādējādi jūsu atmiņā nekavējoties parādīsies izteiksme -
«… PLAŠĀS kājas attiecība pret hipotenūzu».
Problēma ar kosinusa definīciju ir atrisināta.
Ja jums ir jāatceras sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī, tad, atceroties kosinusa definīciju, jūs varat viegli noteikt, ka akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. Galu galā ir tikai divas kājas, ja blakus esošo kāju “aizņem” kosinuss, tad sinusam paliek tikai pretējā puse.
Kā ar tangensu un kotangensu? Tāda pati apjukums. Skolēni zina, ka tāda ir kāju attiecība, taču problēma ir atcerēties, uz kuru no tiem attiecas – vai pretī blakus esošajam, vai otrādi.
Definīcijas:
Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo:
Kā atcerēties? Ir divi veidi. Viens izmanto arī verbāli loģisku savienojumu, otrs - matemātisko.
MATEMĀTISKĀ METODE
Pastāv šāda definīcija - akūta leņķa pieskare ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
* Atceroties formulu, vienmēr var noteikt, ka akūtā leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo.
Tāpat. Akūtā leņķa kotangenss ir leņķa kosinusa attiecība pret tā sinusu:
Tātad! Atceroties šīs formulas, jūs vienmēr varat noteikt, ka:
Akūta leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo
Akūtā leņķa kotangenss taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecība.
VERBĀLLOĢISKĀ METODE
Par tangensu. Atcerieties saiti:
Tas ir, ja jums ir jāatceras pieskares definīcija, izmantojot šo loģisko savienojumu, varat viegli atcerēties, kas tas ir
"... pretējās kājas attiecība pret blakus esošo"
Ja runa ir par kotangensu, tad, atceroties pieskares definīciju, jūs varat viegli izteikt kotangensa definīciju -
"... blakus esošās kājas attiecība pret pretējo"
Vietnē ir interesanta pieskares un kotangensa iegaumēšanas tehnika " Matemātiskais tandēms " , Skaties.
METODE UNIVERSĀLĀ
Jūs varat vienkārši sasmalcināt. Bet, kā rāda prakse, pateicoties verbāli-loģiskiem sakariem, cilvēks ilgu laiku atceras informāciju, nevis tikai matemātisko.
Es ceru, ka materiāls jums bija noderīgs.
Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs
P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.
Dzīvē bieži nākas saskarties ar matemātikas problēmām: skolā, universitātē un pēc tam palīdzot bērnam mājas darbos. Atsevišķu profesiju pārstāvji ar matemātiku saskarsies ikdienā. Tāpēc ir lietderīgi iegaumēt vai atsaukt atmiņā matemātikas noteikumus. Šajā rakstā mēs analizēsim vienu no tiem: taisnleņķa trīsstūra kājas atrašanu.
Kas ir taisnleņķa trīsstūris
Vispirms atcerēsimies, kas ir taisnleņķa trīsstūris. Taisnstūris ir trīs segmentu ģeometriska figūra, kas savieno punktus, kas neatrodas vienā taisnē, un viens no šīs figūras leņķiem ir 90 grādi. Malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām, un malu, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, sauc par hipotenūzu.
Taisnleņķa trijstūra kājas atrašana
Ir vairāki veidi, kā uzzināt kājas garumu. Es vēlētos tos apsvērt sīkāk.
Pitagora teorēma, lai atrastu taisnleņķa trijstūra kāju
Ja zinām hipotenūzu un kāju, tad nezināmās kājas garumu varam atrast, izmantojot Pitagora teorēmu. Tas izklausās šādi: "Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu." Formula: c²=a²+b², kur c ir hipotenūza, a un b ir kājas. Mēs pārveidojam formulu un iegūstam: a²=c²-b².
Piemērs. Hipotenūza ir 5 cm, un kāja ir 3 cm Pārveidojam formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Tālāk mēs izlemjam: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Trigonometriskās attiecības taisnleņķa trijstūra kājas atrašanai
Ir iespējams arī atrast nezināmu kāju, ja ir zināma taisnleņķa trijstūra jebkura cita mala un jebkurš akūts leņķis. Kāju atrašanai, izmantojot trigonometriskās funkcijas, ir četras iespējas: pēc sinusa, kosinusa, pieskares, kotangensa. Lai atrisinātu problēmas, mums palīdzēs tālāk esošā tabula. Apsvērsim šīs iespējas.
Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot sinusu
Leņķa sinuss (sin) ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. Formula: sin \u003d a / c, kur a ir kāja, kas atrodas pretī dotajam leņķim, un c ir hipotenūza. Tālāk mēs pārveidojam formulu un iegūstam: a=sin*c.
Piemērs. Hipotenūza ir 10 cm, un leņķis A ir 30 grādi. Saskaņā ar tabulu mēs aprēķinām leņķa A sinusu, tas ir vienāds ar 1/2. Pēc tam, izmantojot pārveidoto formulu, atrisinām: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).
Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot kosinusu
Leņķa kosinuss (cos) ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu. Formula: cos \u003d b / c, kur b ir kāja, kas atrodas blakus dotajam leņķim, un c ir hipotenūza. Pārveidosim formulu un iegūstam: b=cos*c.
Piemērs. Leņķis A ir 60 grādi, hipotenūza ir 10 cm. Saskaņā ar tabulu mēs aprēķinām leņķa A kosinusu, tas ir vienāds ar 1/2. Tālāk mēs atrisinām: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot tangensu
Leņķa tangenss (tg) ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo. Formula: tg \u003d a / b, kur a ir kāja, kas atrodas pretī stūrim, un b ir blakus. Pārveidosim formulu un iegūstam: a=tg*b.
Piemērs. Leņķis A ir 45 grādi, hipotenūza 10 cm Saskaņā ar tabulu mēs aprēķinām leņķa A tangensu, tas ir vienāds ar Atrisināt: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).
Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot kotangensu
Leņķa kotangenss (ctg) ir blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecība. Formula: ctg \u003d b / a, kur b ir kāja, kas atrodas blakus stūrim un atrodas pretī. Citiem vārdiem sakot, kotangenss ir "apgrieztais tangenss". Mēs iegūstam: b=ctg*a.
Piemērs. Leņķis A ir 30 grādi, pretējā kājiņa ir 5 cm. Saskaņā ar tabulu leņķa A tangensa ir √3. Aprēķināt: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Tātad, tagad jūs zināt, kā atrast kāju taisnleņķa trīsstūrī. Kā redzat, tas nav tik grūti, galvenais ir atcerēties formulas.
Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta trigonometriskās funkcijas un to izmantošanu ģeometrijā. Trigonometrijas attīstība sākās senās Grieķijas dienās. Viduslaikos Tuvo Austrumu un Indijas zinātnieki sniedza nozīmīgu ieguldījumu šīs zinātnes attīstībā.
Šis raksts ir veltīts trigonometrijas pamatjēdzieniem un definīcijām. Tajā aplūkotas galveno trigonometrisko funkciju definīcijas: sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa. To nozīme ģeometrijas kontekstā ir izskaidrota un ilustrēta.
Sākotnēji trigonometrisko funkciju definīcijas, kuru arguments ir leņķis, tika izteiktas ar taisnleņķa trijstūra malu attiecību.
Trigonometrisko funkciju definīcijas
Leņķa sinuss (sin α) ir šim leņķim pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Leņķa kosinuss (cos α) ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Leņķa tangenss (t g α) ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo.
Leņķa kotangenss (c t g α) ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.
Šīs definīcijas ir dotas taisnleņķa trijstūra asam leņķim!
Sniegsim ilustrāciju.
Trijstūrī ABC ar taisnleņķi C leņķa A sinuss ir vienāds ar kājas BC attiecību pret hipotenūzu AB.
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijas ļauj aprēķināt šo funkciju vērtības no zināmajiem trijstūra malu garumiem.
Svarīgi atcerēties!
Sinusu un kosinusu vērtību diapazons: no -1 līdz 1. Citiem vārdiem sakot, sinusa un kosinusa vērtības ir no -1 līdz 1. Tangensu un kotangensu vērtību diapazons ir visa skaitļa līnija, tas ir, šīs funkcijām var būt jebkura vērtība.
Iepriekš sniegtās definīcijas attiecas uz asajiem leņķiem. Trigonometrijā tiek ieviests griešanās leņķa jēdziens, kura vērtību atšķirībā no akūtā leņķa neierobežo kadri no 0 līdz 90 grādiem Rotācijas leņķi grādos vai radiānos izsaka ar jebkuru reālu skaitli no - ∞ līdz + ∞.
Šajā kontekstā var definēt patvaļīga lieluma leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Iedomājieties vienības apli, kura centrs ir Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunkts.
Sākumpunkts A ar koordinātām (1 , 0) griežas ap vienības apļa centru par kādu leņķi α un iet uz punktu A 1 . Definīcija tiek dota, izmantojot punkta A 1 (x, y) koordinātas.
Rotācijas leņķa sinuss (sin).
Rotācijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 (x, y) ordināta. sinα = y
Rotācijas leņķa kosinuss (cos).
Rotācijas leņķa α kosinuss ir punkta A 1 (x, y) abscisa. cos α = x
Rotācijas leņķa pieskare (tg).
Rotācijas leņķa pieskare α ir punkta A 1 (x, y) ordinātu attiecība pret tā abscisu. t g α = y x
Rotācijas leņķa kotangenss (ctg).
Rotācijas leņķa α kotangenss ir punkta A 1 (x, y) abscisu attiecība pret tā ordinātām. c t g α = x y
Sinuss un kosinuss ir definēti jebkuram griešanās leņķim. Tas ir loģiski, jo punkta abscisu un ordinātu pēc rotācijas var noteikt jebkurā leņķī. Situācija ir atšķirīga ar tangensu un kotangensu. Pieskares nav definēta, ja punkts pēc rotācijas iet uz punktu ar nulles abscisu (0 , 1) un (0 , - 1). Šādos gadījumos pieskares izteiksmei t g α = y x vienkārši nav jēgas, jo tajā ir dalījums ar nulli. Līdzīga situācija ir ar kotangensu. Atšķirība ir tāda, ka kotangenss nav definēts gadījumos, kad punkta ordināta pazūd.
Svarīgi atcerēties!
Sinuss un kosinuss ir definēti jebkuram leņķim α.
Pieskares ir noteiktas visiem leņķiem, izņemot α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Kotangente ir noteikta visiem leņķiem, izņemot α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Risinot praktiskus piemērus, nesaki "griešanās leņķa sinuss α". Vārdi "rotācijas leņķis" ir vienkārši izlaisti, kas nozīmē, ka kontekstā jau ir skaidrs, kas ir uz spēles.
Skaitļi
Kā ir ar skaitļa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīciju, nevis griešanās leņķi?
Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss
Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss t tiek izsaukts skaitlis, kas ir attiecīgi vienāds ar sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu in t radiāns.
Piemēram, 10 π sinuss ir vienāds ar 10 π rad griešanās leņķa sinusu.
Ir vēl viena pieeja skaitļa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijai. Apsvērsim to sīkāk.
Jebkurš reāls skaitlis t punktu uz vienības apļa saliek korespondencē ar centru taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas sākumā. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss tiek definēti kā šī punkta koordinātas.
Apļa sākuma punkts ir punkts A ar koordinātām (1 , 0).
pozitīvs skaitlis t
Negatīvs skaitlis t atbilst punktam, uz kuru pārvietosies sākuma punkts, ja tas virzīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam ap apli un šķērsos ceļu t .
Tagad, kad ir izveidota saikne starp skaitli un apļa punktu, mēs pārejam pie sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijas.
Skaitļa t sinuss (grēks).
Skaitļa sinuss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta ordināta t. sin t = y
Kosinuss (cos) no t
Skaitļa kosinuss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta abscisa t. cos t = x
Pieskares (tg) no t
Skaitļa tangenss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta ordinātu attiecību pret abscisu t. t g t = y x = sin t cos t
Pēdējās definīcijas atbilst un nav pretrunā ar šīs sadaļas sākumā sniegto definīciju. Punkts uz apļa, kas atbilst skaitlim t, sakrīt ar punktu, līdz kuram iet sākuma punkts pēc pagrieziena cauri leņķim t radiāns.
Leņķiskā un skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas
Katra leņķa α vērtība atbilst noteiktai šī leņķa sinusa un kosinusa vērtībai. Tāpat kā visi leņķi α, izņemot α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) atbilst noteiktai pieskares vērtībai. Kotangenss, kā minēts iepriekš, ir definēts visiem α, izņemot α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Var teikt, ka sin α , cos α , t g α , c t g α ir leņķa alfa funkcijas jeb leņķa argumenta funkcijas.
Līdzīgi var runāt par sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu kā skaitliskā argumenta funkcijām. Katrs reālais skaitlis t atbilst noteiktai skaitļa sinusa vai kosinusa vērtībai t. Visi skaitļi, izņemot π 2 + π · k , k ∈ Z, atbilst pieskares vērtībai. Kotangenss ir līdzīgi definēts visiem skaitļiem, izņemot π · k , k ∈ Z.
Trigonometrijas pamatfunkcijas
Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometriskās pamatfunkcijas.
No konteksta parasti ir skaidrs, ar kuru trigonometriskās funkcijas argumentu (leņķa argumentu vai skaitlisko argumentu) mēs runājam.
Atgriezīsimies pie datiem definīciju pašā sākumā un leņķa alfa, kas atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem. Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa trigonometriskās definīcijas pilnībā saskan ar ģeometriskajām definīcijām, kas dotas, izmantojot taisnleņķa trijstūra malu attiecības. Parādīsim to.
Paņemiet vienības apli, kura centrā ir taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēma. Pagriezīsim sākuma punktu A (1, 0) par leņķi līdz 90 grādiem un no iegūtā punkta A 1 (x, y) zīmēsim perpendikulāri x asij. Iegūtajā taisnleņķa trijstūrī leņķis A 1 O H ir vienāds ar griešanās leņķi α, kājas O H garums ir vienāds ar punkta A 1 abscisu (x, y) . Stūrim pretī esošās kājas garums ir vienāds ar punkta A 1 (x, y) ordinātu, un hipotenūzas garums ir vienāds ar vienu, jo tas ir vienības apļa rādiuss.
Saskaņā ar ģeometrijas definīciju leņķa α sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Tas nozīmē, ka akūtā leņķa sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī caur malu attiecību ir līdzvērtīga griešanās leņķa α sinusa definīcijai, un alfa atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem.
Līdzīgi definīciju atbilstību var parādīt kosinusam, tangensam un kotangensam.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter