Kā manuāli atrast skaitļa kvadrātsakni. Saknes ar pārmaiņus

Filoģenētiski sakne radusies vēlāk nekā kāts un lapa – saistībā ar augu pāreju uz dzīvību uz sauszemes un, iespējams, cēlusies no saknēm līdzīgiem pazemes zariem. Saknei nav ne lapu, ne pumpuru, kas sakārtoti noteiktā secībā. To raksturo apikāls augšana garumā, sānu zari rodas no iekšējiem audiem, augšanas vieta ir pārklāta ar sakņu cepuri. Sakņu sistēma veidojas visā auga organisma dzīves laikā. Dažreiz sakne var kalpot kā nogulsnēšanās vieta barības vielu piegādē. Šajā gadījumā tas tiek pārveidots.

Sakņu veidi

Galvenā sakne veidojas no dīgļa saknes sēklu dīgšanas laikā. Tam ir sānu saknes.

Uz kātiem un lapām attīstās nejaušas saknes.

Sānu saknes ir jebkuras saknes zari.

Katrai saknei (galvenajai, sānu, nejaušajai) ir spēja sazaroties, kas ievērojami palielina sakņu sistēmas virsmu, un tas veicina labāku auga nostiprināšanos augsnē un uzlabo tā uzturu.

Sakņu sistēmu veidi

Ir divi galvenie sakņu sistēmu veidi: mietsakne, kurai ir labi attīstīta galvenā sakne, un šķiedraina. Šķiedru sakņu sistēma sastāv no liela skaita nejaušu sakņu, kuru izmērs ir vienāds. Visa sakņu masa sastāv no sānu vai nejaušām saknēm un izskatās kā daiva.

Ļoti sazarota sakņu sistēma veido milzīgu absorbējošu virsmu. Piemēram,

• ziemas rudzu sakņu kopgarums sasniedz 600 km;
• sakņu matiņu garums - 10 000 km;
• sakņu kopējā platība ir 200 m 2.

Tas ir daudzkārt lielāks nekā virszemes masas laukums.

Ja augam ir skaidri noteikta pamatsakne un attīstās nejaušās saknes, tad veidojas jaukta tipa sakņu sistēma (kāposti, tomāti).

Saknes ārējā struktūra. Saknes iekšējā struktūra

Sakņu zonas

sakņu cepure

Sakne aug garumā ar savu galu, kur atrodas izglītības audu jaunās šūnas. Augošā daļa ir pārklāta ar sakņu cepurīti, kas pasargā saknes galu no bojājumiem un veicina saknes pārvietošanos augsnē augšanas laikā. Pēdējā funkcija tiek veikta, pateicoties saknes vāciņa ārējo sienu īpašībai būt pārklātām ar gļotām, kas samazina berzi starp saknes un augsnes daļiņām. Viņi pat var izspiest augsnes daļiņas. Sakņu cepures šūnas ir dzīvas, bieži satur cietes graudus. Vāciņa šūnas tiek pastāvīgi atjauninātas dalīšanas dēļ. Piedalās pozitīvās ģeotropiskās reakcijās (sakņu augšanas virziens uz Zemes centru).

Dalīšanās zonas šūnas aktīvi dalās, šīs zonas garums ir dažādi veidi un viena un tā paša auga dažādas saknes nav vienādas.

Aiz sadalīšanas zonas atrodas pagarinājuma zona (augšanas zona). Šīs zonas garums nepārsniedz dažus milimetrus.

Pabeidzot lineāro augšanu, sākas trešais sakņu veidošanās posms - tās diferenciācija, veidojas šūnu diferenciācijas un specializācijas zona (jeb sakņu matiņu un absorbcijas zona). Šajā zonā jau izšķir epiblemas ārējo slāni (rizodermu) ar sakņu matiņiem, primārās garozas slāni un centrālo cilindru.

Sakņu matu struktūra

Sakņu matiņi ir ļoti iegareni ārējo šūnu izaugumi, kas aptver sakni. Sakņu matiņu skaits ir ļoti augsts (no 200 līdz 300 matiņiem uz 1 mm2). To garums sasniedz 10 mm. Mati veidojas ļoti ātri (jaunos ābeles stādos 30-40 stundu laikā). Sakņu matiņi ir īslaicīgi. Tie mirst 10-20 dienu laikā, un saknes jaunajā daļā izaug jaunas. Tas nodrošina jaunu augsnes horizontu attīstību pie saknes. Sakne nepārtraukti aug, veidojot arvien jaunas sakņu matiņu zonas. Mati var ne tikai absorbēt gatavus vielu šķīdumus, bet arī veicināt noteiktu augsnes vielu izšķīšanu un pēc tam tās absorbēt. Saknes vieta, kur sakņu matiņi ir atmiruši, kādu laiku spēj absorbēt ūdeni, bet pēc tam pārklājas ar korķi un zaudē šo spēju.

Matu apvalks ir ļoti plāns, kas atvieglo barības vielu uzsūkšanos. Gandrīz visu matu šūnu aizņem vakuols, ko ieskauj plāns citoplazmas slānis. Kodols atrodas šūnas augšpusē. Ap šūnu veidojas gļotādas apvalks, kas veicina sakņu matiņu salipšanu ar augsnes daļiņām, kas uzlabo to kontaktu un palielina sistēmas hidrofilitāti. Uzsūkšanos veicina skābes (oglekļa, ābolskābes, citronskābes) izdalīšanās ar sakņu matiņiem, kas izšķīdina minerālsāļus.

Sakņu matiņiem ir arī mehāniska nozīme – tie kalpo kā atbalsts saknes virsotnei, kas iziet starp augsnes daļiņām.

Zem mikroskopa uz saknes šķērsgriezuma absorbcijas zonā tās struktūra ir redzama šūnu un audu līmenī. Saknes virspusē ir rizoderma, zem tās ir miza. Garozas ārējais slānis ir eksoderma, uz iekšu no tā ir galvenā parenhīma. Tās plānsienu dzīvās šūnas veic uzglabāšanas funkciju, vada barības vielu šķīdumus radiālā virzienā - no absorbējošajiem audiem uz koksnes traukiem. Viņi arī sintezē vairākas augam svarīgas organiskās vielas. Garozas iekšējais slānis ir endoderma. Uzturvielu šķīdumi, kas nāk no garozas uz centrālo cilindru caur endodermas šūnām, iziet tikai caur šūnu protoplastu.

Miza ieskauj saknes centrālo cilindru. Tas robežojas ar šūnu slāni, kas ilgstoši saglabā spēju dalīties. Šis ir pericikls. Periciklu šūnas rada sānu saknes, adnexālos pumpurus un vidējās izglītības audus. Uz iekšu no pericikla saknes centrā atrodas vadoši audi: lūksne un koksne. Kopā tie veido radiālu vadošu staru kūli.

Saknes vadošā sistēma vada ūdeni un minerālvielas no saknes uz stublāju (augšupvērstā strāva) un organiskās vielas no stumbra uz sakni (strāva lejup). Tas sastāv no asinsvadu šķiedru saišķiem. Galvenās saišķa sastāvdaļas ir floēma (caur kuru vielas virzās uz sakni) un ksilēma (caur kuru vielas pārvietojas no saknes) sadaļas. Galvenie floēmas vadošie elementi ir sieta caurules, ksilēmas ir trahejas (trauki) un traheīdas.

Sakņu dzīvības procesi

Ūdens transports pie saknes

Ūdens uzsūkšanās ar sakņu matiņiem no augsnes barības vielu šķīduma un tā vadīšana radiālā virzienā gar primārās garozas šūnām caur endodermas pārejas šūnām uz radiālā asinsvadu saišķa ksilēmu. Ūdens absorbcijas intensitāti ar sakņu matiņiem sauc par sūkšanas spēku (S), tā ir vienāda ar starpību starp osmotisko (P) un turgora (T) spiedienu: S=P-T.

Kad osmotiskais spiediens ir vienāds ar turgora spiedienu (P=T), tad S=0, ūdens pārstāj ieplūst saknes matu šūnā. Ja augsnes barības vielu šķīdumā vielu koncentrācija ir lielāka nekā šūnas iekšienē, tad no šūnām atstās ūdens un notiks plazmolīze - augi nokalst. Šī parādība tiek novērota sausas augsnes apstākļos, kā arī ar pārmērīgu minerālmēslu izmantošanu. Sakņu šūnu iekšpusē saknes sūkšanas jauda palielinās no rizodermas virzienā uz centrālo cilindru, tāpēc ūdens pārvietojas pa koncentrācijas gradientu (t.i., no vietas ar lielāku koncentrāciju uz vietu ar mazāku koncentrāciju) un rada saknes spiedienu. kas paceļ ūdens stabu gar ksilēmas traukiem, veidojot augšupejošu strāvu. To var atrast uz pavasara bezlapu stumbriem, kad novāc "sulas", vai uz nogrieztiem celmiem. Ūdens aizplūšanu no koksnes, svaigiem celmiem, lapām sauc par augu "raudāšanu". Lapām ziedot tās rada arī sūkšanas spēku un pievelk ūdeni sev - katrā traukā veidojas nepārtraukta ūdens kolonna - kapilāra spriegums. Saknes spiediens ir ūdens plūsmas apakšējais motors, un lapu sūkšanas spēks ir augšējais. To var apstiprināt ar vienkāršu eksperimentu palīdzību.

Ūdens uzsūkšanās ar saknēm

Mērķis: noskaidro saknes galveno funkciju.

Ko mēs daram: augu, kas audzēts uz mitrām zāģu skaidām, nokratiet sakņu sistēmu un nolaidiet saknes ūdens glāzē. Uzlejiet plānu kārtu virs ūdens, lai pasargātu to no iztvaikošanas. dārzeņu eļļa un atzīmējiet līmeni.

Ko mēs novērojam: pēc dienas vai divām ūdens tvertnē noslīdēja zem atzīmes.

Rezultāts: tāpēc saknes iesūca ūdeni un iznesa to līdz lapām.

Var veikt vēl vienu eksperimentu, kas pierāda barības vielu uzsūkšanos no saknes.

Ko mēs daram: nogriežam augam stublāju, atstājot 2-3 cm augstu celmu.Uz celma uzliekam gumijas caurulīti 3cm garumā, bet augšējā galā uzliekam izliektu stikla caurulīti 20-25cm augstumā.

Ko mēs novērojam:ūdens stikla caurulē paceļas un izplūst.

Rezultāts: tas pierāda, ka sakne uzsūc ūdeni no augsnes stublājā.

Vai ūdens temperatūra ietekmē ūdens uzsūkšanās ātrumu saknē?

Mērķis: uzziniet, kā temperatūra ietekmē saknes darbību.

Ko mēs daram: vienai glāzei jābūt ar siltu ūdeni (+17-18ºС), bet otrai ar aukstu ūdeni (+1-2ºС).

Ko mēs novērojam: pirmajā gadījumā ūdens izdalās bagātīgi, otrajā - maz vai pilnībā apstājas.

Rezultāts: tas ir pierādījums tam, ka temperatūrai ir spēcīga ietekme uz sakņu darbību.

Siltu ūdeni aktīvi uzsūc saknes. Paaugstinās sakņu spiediens.

Auksts ūdens slikti uzsūcas saknēs. Šajā gadījumā saknes spiediens pazeminās.

minerālu uzturs

Minerālu fizioloģiskā loma ir ļoti liela. Tie ir pamats organisko savienojumu sintēzei, kā arī faktoriem, kas maina koloīdu fizikālo stāvokli, t.i. tieši ietekmēt vielmaiņu un protoplasta struktūru; darbojas kā bioķīmisko reakciju katalizators; ietekmēt šūnas turgoru un protoplazmas caurlaidību; ir elektrisko un radioaktīvo parādību centri augu organismos.

Konstatēts, ka normāla augu attīstība iespējama tikai tad, ja uzturvielu šķīdumā ir trīs nemetāli - slāpeklis, fosfors un sērs un - un četri metāli - kālijs, magnijs, kalcijs un dzelzs. Katram no šiem elementiem ir individuāla vērtība, un to nevar aizstāt ar citu. Tie ir makroelementi, to koncentrācija augā ir 10 -2 -10%. Normālai augu attīstībai nepieciešami mikroelementi, kuru koncentrācija šūnā ir 10 -5 -10 -3%. Tie ir bors, kobalts, varš, cinks, mangāns, molibdēns uc Visi šie elementi ir atrodami augsnē, bet dažreiz nepietiekamā daudzumā. Tāpēc augsnē tiek uzklāts minerālmēsls un organiskais mēslojums.

Augs aug un attīstās normāli, ja vide, kas ieskauj saknes, satur visas nepieciešamās barības vielas. Augsne ir šāda vide lielākajai daļai augu.

Sakņu elpa

Normālai auga augšanai un attīstībai ir nepieciešams, lai saknē iekļūtu svaigs gaiss. Pārbaudīsim, vai tā ir?

Mērķis: vai saknēm vajag gaisu?

Ko mēs daram:Ņemsim divus identiskus traukus ar ūdeni. Katrā traukā ievietojam attīstošus stādus. Mēs katru dienu piesātina ūdeni vienā no traukiem ar gaisu, izmantojot smidzināšanas pudeli. Uz ūdens virsmas otrajā traukā ielej plānu kārtiņu augu eļļas, jo tas aizkavē gaisa ieplūšanu ūdenī.

Ko mēs novērojam: pēc kāda laika augs otrajā traukā pārtrauks augt, nokalst un galu galā mirs.

Rezultāts: auga nāve notiek saknes elpošanai nepieciešamā gaisa trūkuma dēļ.

Sakņu modifikācijas

Dažos augos rezerves barības vielas tiek nogulsnētas saknēs. Tie uzkrāj ogļhidrātus, minerālsāļus, vitamīnus un citas vielas. Šādas saknes stipri aug biezumā un iegūst neparastu izskatu. Gan sakne, gan kāts ir iesaistīti sakņu kultūru veidošanā.

Saknes

Ja rezerves vielas uzkrājas galvenajā saknē un galvenā dzinuma stumbra pamatnē, veidojas sakņu kultūras (burkāni). Saknes veidojošie augi pārsvarā ir biennāles. Pirmajā dzīves gadā tie nezied un sakņu kultūrās uzkrāj daudz barības vielu. Otrajā tie ātri uzzied, izmantojot uzkrātās barības vielas un veido augļus un sēklas.

sakņu bumbuļi

Dālijās rezerves vielas uzkrājas nejaušās saknēs, veidojot sakņu bumbuļus.

baktēriju mezgliņi

Savdabīgi izmainītas āboliņa, lupīnas, lucernas sānsaknes. Baktērijas apmetas jaunās sānu saknēs, kas veicina gāzveida slāpekļa uzsūkšanos no augsnes gaisa. Šādas saknes izpaužas mezgliņu formā. Pateicoties šīm baktērijām, šie augi spēj dzīvot ar slāpekli nabadzīgās augsnēs un padarīt tās auglīgākas.

stiebri

Uzbrauktuves, kas aug plūdmaiņu zonā, attīsta saknes. Augstu virs ūdens tie tur lielus lapu dzinumus uz nestabilas dubļainas zemes.

Gaiss

Tropu augiem, kas dzīvo uz koku zariem, attīstās gaisa saknes. Tie bieži sastopami orhidejās, bromēlijās un dažās papardēs. Gaisa saknes brīvi karājas gaisā, nesasniedzot zemi un absorbējot mitrumu no lietus vai rasas, kas uz tām krīt.

Spriegotāji

Sīpolu un sīpolu augos, piemēram, krokusos, starp daudzajām pavedienveida saknēm ir vairākas resnākas, tā sauktās ievelkas saknes. Samazinot, šādas saknes ievelk bumbuļus dziļāk augsnē.

Stabveida

Ficus attīsta kolonnveida virszemes saknes vai atbalsta saknes.

Augsne kā biotops saknēm

Augsne augiem ir vide, no kuras tie saņem ūdeni un barības vielas. Minerālvielu daudzums augsnē ir atkarīgs no pamatieža īpatnībām, organismu aktivitātes, pašu augu dzīvībai svarīgās aktivitātes un augsnes veida.

Augsnes daļiņas sacenšas ar saknēm par mitrumu, noturot to uz savas virsmas. Tas ir tā sauktais saistītais ūdens, kas ir sadalīts higroskopiskajā un plēvē. To notur molekulārās pievilkšanās spēki. Augam pieejamo mitrumu attēlo kapilārais ūdens, kas koncentrējas augsnes mazajās porās.

Antagonistiskas attiecības veidojas starp augsnes mitruma un gaisa fāzi. Jo augsnē vairāk lielu poru, jo labāks ir šo augsņu gāzes režīms, jo mazāk mitruma saglabājas augsnē. Vislabvēlīgākais ūdens-gaisa režīms tiek uzturēts strukturālajās augsnēs, kur ūdens un gaiss atrodas vienlaicīgi un netraucē viens otram - ūdens aizpilda kapilārus strukturālo agregātu iekšpusē, bet gaiss aizpilda lielās poras starp tiem.

Auga un augsnes mijiedarbības raksturs lielā mērā ir saistīts ar augsnes uzsūkšanas spēju – spēju noturēt vai saistīt ķīmiskos savienojumus.

Augsnes mikroflora sadala organiskās vielas vienkāršākos savienojumos, piedalās augsnes struktūras veidošanā. Šo procesu raksturs ir atkarīgs no augsnes veida, augu atlieku ķīmiskā sastāva, mikroorganismu fizioloģiskajām īpašībām un citiem faktoriem. Augsnes struktūras veidošanā piedalās augsnes dzīvnieki: annelīdi, kukaiņu kāpuri u.c.

Bioloģiskās un ķīmiskie procesi augsnē veidojas sarežģīts organisko vielu komplekss, ko apvieno ar terminu "humuss".

Ūdens kultūras metode

Kādi sāļi augam nepieciešami un kādu ietekmi tie atstāj uz tā augšanu un attīstību, tika noskaidrots eksperimentējot ar ūdens kultūrām. Ūdens kultūras metode ir augu audzēšana nevis augsnē, bet gan iekšā ūdens šķīdums minerālsāļi. Atkarībā no eksperimenta mērķa jūs varat izslēgt no šķīduma atsevišķu sāli, samazināt vai palielināt tā saturu. Konstatēts, ka slāpekli saturošie mēslošanas līdzekļi veicina augu augšanu, fosforu saturošie – ātrāko augļu nogatavošanos, bet kāliju saturošie – ātrāko organisko vielu aizplūšanu no lapām uz saknēm. Šajā sakarā slāpekli saturošus mēslošanas līdzekļus ieteicams lietot pirms sēšanas vai vasaras pirmajā pusē, kas satur fosforu un kāliju - vasaras otrajā pusē.

Izmantojot ūdens kultūru metodi, varēja konstatēt ne tikai auga nepieciešamību pēc makroelementiem, bet arī noskaidrot dažādu mikroelementu lomu.

Šobrīd ir gadījumi, kad augus audzē, izmantojot hidroponikas un aeroponikas metodes.

Hidroponika ir augu audzēšana podos, kas piepildīti ar granti. Uzturvielu šķīdums, kas satur nepieciešamos elementus, tiek ievadīts traukos no apakšas.

Aeroponika ir augu gaisa kultūra. Ar šo metodi sakņu sistēma atrodas gaisā un automātiski (vairākas reizes stundas laikā) tiek apsmidzināta ar vāju uzturvielu sāļu šķīdumu.

Diezgan bieži, risinot problēmas, mēs saskaramies ar lieliem skaitļiem, no kuriem mums ir jāizņem Kvadrātsakne. Daudzi skolēni nolemj, ka tā ir kļūda, un sāk risināt visu piemēru. To nekādā gadījumā nedrīkst darīt! Tam ir divi iemesli:

1. Lielo skaitļu saknes rodas problēmās. Īpaši tekstā;
2. Ir algoritms, pēc kura šīs saknes tiek uzskatītas gandrīz verbāli.

Mēs šodien apsvērsim šo algoritmu. Varbūt dažas lietas jums šķitīs nesaprotamas. Bet, ja jūs pievērsīsiet uzmanību šai nodarbībai, jūs iegūsit visspēcīgāko ieroci pret kvadrātsaknes .

Tātad algoritms:

1. Ierobežojiet vēlamo sakni virs un zemāk līdz 10 reizinājumiem. Tādējādi mēs samazināsim meklēšanas diapazonu līdz 10 skaitļiem;
2. No šiem 10 skaitļiem atsijājiet tos, kas noteikti nevar būt saknes. Rezultātā paliks 1-2 cipari;
3. Kvadrātiņā šos 1-2 skaitļus. Tas no tiem, kuru kvadrāts ir vienāds ar sākotnējo skaitli, būs sakne.

Pirms šī algoritma piemērošanas praksē, apskatīsim katru atsevišķu soli.

Sakņu ierobežojums

Pirmkārt, mums ir jānoskaidro, starp kuriem skaitļiem atrodas mūsu sakne. Ir ļoti vēlams, lai skaitļi būtu desmit reizes:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Mēs iegūstam skaitļu sēriju:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ko šie skaitļi mums dod? Tas ir vienkārši: mēs iegūstam robežas. Ņemiet, piemēram, skaitli 1296. Tas atrodas no 900 līdz 1600. Tāpēc tā sakne nevar būt mazāka par 30 un lielāka par 40:

[Attēla paraksts]

Tāpat ir ar jebkuru citu skaitli, no kura var atrast kvadrātsakni. Piemēram, 3364:

[Attēla paraksts]

Tādējādi nesaprotama skaitļa vietā mēs iegūstam ļoti konkrētu diapazonu, kurā atrodas sākotnējā sakne. Lai vēl vairāk sašaurinātu meklēšanas jomu, pārejiet uz otro darbību.

Acīmredzami lieku skaitļu likvidēšana

Tātad, mums ir 10 skaitļi - saknes kandidāti. Mēs tos saņēmām ļoti ātri, bez sarežģītas domāšanas un reizināšanas kolonnā. Ir laiks virzīties tālāk.

Tici vai nē, tagad mēs samazinām kandidātu skaitu līdz diviem – un atkal bez sarežģītiem aprēķiniem! Pietiek zināt īpašo noteikumu. Te tas ir:

Kvadrāta pēdējais cipars ir atkarīgs tikai no pēdējā cipara oriģinālais numurs.

Citiem vārdiem sakot, pietiek paskatīties uz kvadrāta pēdējo ciparu - un mēs uzreiz sapratīsim, kur beidzas sākotnējais skaitlis.

Ir tikai 10 cipari, kas var būt pēdējā vietā. Mēģināsim noskaidrot, par ko tie pārvēršas, kad tie ir kvadrātā. Apskatiet tabulu:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Šī tabula ir vēl viens solis ceļā uz saknes aprēķināšanu. Kā redzat, skaitļi otrajā rindā izrādījās simetriski attiecībā pret pieci. Piemēram:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kā redzat, abos gadījumos pēdējais cipars ir vienāds. Un tas nozīmē, ka, piemēram, 3364 sakne noteikti beidzas ar 2 vai 8. No otras puses, mēs atceramies ierobežojumu no iepriekšējās rindkopas. Mēs iegūstam:

[Attēla paraksts]

Sarkanie kvadrāti parāda, ka mēs vēl nezinām šo skaitli. Bet galu galā sakne atrodas no 50 līdz 60, uz kuras ir tikai divi skaitļi, kas beidzas ar 2 un 8:

[Attēla paraksts]

Tas ir viss! No visām iespējamām saknēm mēs atstājām tikai divus variantus! Un tas ir grūtākajā gadījumā, jo pēdējais cipars var būt 5 vai 0. Un tad paliks vienīgais kandidāts uz saknēm!

Galīgie aprēķini

Tātad mums ir palikuši 2 kandidātu numuri. Kā jūs zināt, kura no tām ir sakne? Atbilde ir acīmredzama: kvadrātā abus skaitļus. Tas, kas ir kvadrātā, dos sākotnējo skaitli un būs sakne.

Piemēram, skaitlim 3364 mēs atradām divus kandidātu skaitļus: 52 un 58. Salīdzināsim tos kvadrātā:

52 2 \u003d (50 + 2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

Tas ir viss! Izrādījās, ka sakne ir 58! Tajā pašā laikā, lai vienkāršotu aprēķinus, es izmantoju summas un starpības kvadrātu formulu. Pateicoties tam, jums pat nebija jāreizina skaitļi kolonnā! Tas ir vēl viens aprēķinu optimizācijas līmenis, bet, protams, tas ir pilnīgi neobligāts :)

Sakņu aprēķina piemēri

Teorija, protams, laba. Bet pārbaudīsim to praksē.

[Attēla paraksts]

Vispirms noskaidrosim, starp kuriem skaitļiem atrodas skaitlis 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Tagad apskatīsim pēdējo numuru. Tas ir vienāds ar 6. Kad tas notiek? Tikai tad, ja sakne beidzas ar 4 vai 6. Mēs iegūstam divus skaitļus:

Atliek katru skaitli kvadrātā un salīdzināt ar oriģinālu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

labi! Pirmais kvadrāts izrādījās vienāds ar sākotnējo skaitli. Tātad šī ir sakne.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Attēla paraksts]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Apskatīsim pēdējo numuru:

1369 → 9;
33; 37.

Izlīdzināsim kvadrātā:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Šeit ir atbilde: 37.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Attēla paraksts]

Mēs ierobežojam skaitu:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Apskatīsim pēdējo numuru:

2704 → 4;
52; 58.

Izlīdzināsim kvadrātā:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Saņēmām atbildi: 52. Otrais cipars vairs nebūs jāliek kvadrātā.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Attēla paraksts]

Mēs ierobežojam skaitu:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Apskatīsim pēdējo numuru:

4225 → 5;
65.

Kā redzat, pēc otrā soļa paliek tikai viena iespēja: 65. Šī ir vēlamā sakne. Bet tomēr pieņemsim to kvadrātā un pārbaudīsim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viss ir pareizi. Mēs pierakstām atbildi.

Secinājums

Diemžēl nav labāk. Apskatīsim iemeslus. Ir divi no tiem:

• Ir aizliegts izmantot kalkulatorus jebkurā parastā matemātikas eksāmenā, neatkarīgi no tā, vai tas ir GIA vai vienotais valsts eksāmens. Un par kalkulatora nēsāšanu klasē viņus var viegli izmest no eksāmena.
• Neesiet kā stulbi amerikāņi. Kas nav kā saknes - tās nevar pievienot divus pirmskaitļus. Un, ieraugot frakcijas, viņi parasti kļūst histēriski.

Ir zināms, ka sakne sastopama augos, zobos, bet kāda ir vārda sakne krievu valodā? To var saprast ar piemēru no dabas.

Otrās klases skolēni var sākt ar jautājumu: kāpēc ziedam ir vajadzīga sakne? Tas ir pamats, atbalsts, kodols, bez kura viņš nevar dzīvot. Tātad krievu valodā vārdos ir pamats, kas veido to nozīmi.

Vārda saknes noteikšana tiešsaistē

Kas ir sakne krievu valodā

Atgriežoties pie tēmas, varam iegūt definīciju: sakne ir svarīga vārda sastāvdaļa, kas apvieno radniecīgus vārdus, to kopsaucējs, kas satur galveno nozīmi. Ja vārdiem ir viena sakne, tie ir viena un tā pati sakne.

Jums jāzina, ka ir saknes, kas ir rakstītas identiski, bet kurām ir atšķirīga nozīme. Lai izceltu aplūkojamo morfēmu, virs vārda ir jānovelk loks no saknes pirmā līdz pēdējam burtam.

Kā noteikt vārda sakni

Kā atpazīt vārdu attiecības un noteikt, ka tām ir viens pamats? Jums jāizvēlas vārds un jāatrod tam pēc iespējas vairāk "radinieku".

Šajā gadījumā galvenais noteikums ir tāds, ka kopējai saknei ir jāuzrāda viena un tā pati vārdu nozīme. Tas ir, šos vārdus būs iespējams izskaidrot ar saknes palīdzību. Piemēram: medus, medus kūka, medus, medus.

Vārdam ne vienmēr ir viens, ir iespējamas divas saknes. Šādus vārdus sauc par "sarežģītiem", un tos nav grūti atpazīt citu starpā ( ūdenskritums, sala izturīgs). Saknes var mijiedarboties ne tikai kopā ar citām vārda daļām, bet arī atsevišķi.

Piemēram: sakne - ielieciet vārdos atvadas, pavadzīme uzrāda kopā ar priedēkļiem, sufiksiem, galotnēm un vārdu veidā jau ir neatkarīgs.

Tiešsaistē nosakiet vārda sakni

Īpašās vietnēs tiek veikta vārda saliktā analīze, kas nozīmē, ka tiešsaistē nebūs grūti noteikt vārda sakni.

Detalizētu vairuma krievu vārdu morfēmu analīzi un aprakstu internetā var atrast daudzos resursos, piemēram:

• http://udarenieru.ru/index.php?word=on&morph_word=online - accent.ru;
• http://wikislovo.ru/morphemic/ - wikislovo.ru;
• http://morphemeonline.ru/O/online - morphemeonline.ru un citi.

Visur pietiek iebraukt vajadzīgajā vārdā, un programma visu izdarīs tavā vietā. Šāda palīdzība dažkārt ļoti palīdz, bet parasti nav grūti pašam izolēt sakni.

Tas ir tas, ko bērni māca pamatskola, proti, 2. klasē un ar pareizu skaidrojumu, prasme izcelt vārda celmu parasti nelokāmi saglabājas ilgus gadus.

Piemēri saknes atrašanai vārdos

Kā piemēru ņemsim dažas morfēmas. Lai noteiktu, kas ir vārda sakne, mēs tam atlasām saistītos vārdus.

Pēc tam mums nepieciešamā morfēma noteikti kļūs acīmredzama:

Lauks - lauki, lauks, lauks, pelējums, Chistopol. Sakne - Pāvils, nobeigums -e.

Vairāk - vairākums, liels, boļševistisks, liels. Sakne - lieliski, piedēklis -e.

Apstādījumi - zaļi, zaļumi, zaļumi, briljantzaļi, zaļi, zaļi. Sakne - apstādījumi, nulles beigas.

Apkārt - aplis, aplis, rajoni, vide, kruglyash, apļveida. Sakne - aplis, priedēklis - iekšā.

Rakstīt - rakstīja, rakstīja, rakstīja, raksti, raksti. Sakne -pis, piedēklis -a, nobeigums -th.

Ūdens - rezervuārs, ūdenskritums, aļģes, ūdenstilpes, ūdens, ūdens, ūdensputni, ūdens nesējslānis. Sakne - ūdens, nobeigums -a.

Īss - īss, kamēr prom, saīsināts, īsspalvains, īss. Sakne - īss, nobeigums th.

Bezmaksas - bezmaksas, bezmaksas, bezmaksas, bezmaksas. Priedēklis - plkst, sakne - gribas, sufiksi -n un - par.

Savējie - savējie, savējie, savējie, savējie, pašmērķīgi. Šeit vārds sastāv no divām saknēm -savu un - viņiem, ir nulle sufikss un galotne.

Smags - grūti, smagsvars, grūti, tiesāšanās, smagums. Sakne - smags, sufikss - ēda, nobeigums - th.

Lai neapjuktu šajā tēmā, apsveriet citu svarīgs punkts: saknēs pieļaujamas skaņu maiņas. Piemēram, patskaņi: izcili - izcili. Patskaņi var būt brīvi: lins - lins. Līdzskaņi: jauns - jauneklīgs.

Secinājums

Kāda ir sakne krievu valodā? Redzam, ka tas vārdam daudz nozīmē - palīdz saprast tā izcelsmi, nozīmi - no vārdu krājuma viedokļa, pārbaudīt pareizrakstību.

Meklējot sakni, saprotam, ka vārds nav radies pats no sevis, bet šķiet, ka tam ir ģimene, vesela radinieku armija. Šīs tēmas izpēte palīdzēs labāk izprast, kā tiek veidoti vārdi, un paplašināt savu vārdu krājumu.

Pirms kalkulatoru parādīšanās skolēni un skolotāji ar roku aprēķināja kvadrātsaknes. Ir vairāki veidi, kā manuāli aprēķināt skaitļa kvadrātsakni. Daži no tiem piedāvā tikai aptuvenu risinājumu, citi sniedz precīzu atbildi.

Soļi

Galvenā faktorizācija

Saknes skaitli faktoros, kas ir kvadrātskaitļi. Atkarībā no saknes numura jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var ņemt visu kvadrātsakni. Faktori ir skaitļi, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais skaitlis. Piemēram, skaitļa 8 faktori ir 2 un 4, jo 2 x 4 = 8, skaitļi 25, 36, 49 ir ​​kvadrātskaitļi, jo √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrātveida koeficienti ir faktori, kas ir kvadrātskaitļi. Vispirms mēģiniet faktorizēt saknes skaitli kvadrātveida faktoros.

• Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 400 (manuāli). Vispirms mēģiniet ieskaitīt 400 kvadrātos. 400 ir 100 reizinātājs, tas ir, dalās ar 25 - tas ir kvadrātveida skaitlis. Dalot 400 ar 25, jūs iegūstat 16. Skaitlis 16 ir arī kvadrātveida skaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrāta koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 = 400.
• To var uzrakstīt šādi: √400 = √(25 x 16).

1. Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar katra termina kvadrātsakņu reizinājumu, tas ir, √(a x b) = √a x √b. Izmantojiet šo noteikumu un ņemiet kvadrātsakni no katra kvadrātveida faktora un reiziniet rezultātus, lai atrastu atbildi.

   • Mūsu piemērā ņem kvadrātsakni no 25 un 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ja radikālais skaitlis netiek ņemts vērā divos kvadrātos (un vairumā gadījumu tas notiek), jūs nevarēsit atrast precīzu atbildi kā veselu skaitli. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, sadalot saknes skaitli kvadrātveida koeficientā un parastā faktorā (skaitlī, no kura nevar ņemt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrātsakni no kvadrātveida koeficienta un jūs pieņemsit parastā faktora sakni.

   • Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar ieskaitīt divos kvadrātfaktoros, bet to var ieskaitīt šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet uzdevumu šādi:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ja nepieciešams, novērtējiet saknes vērtību. Tagad jūs varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuveno vērtību), salīdzinot to ar kvadrātskaitļu sakņu vērtībām, kas ir vistuvāk (abās skaitļu līnijas pusēs) saknes skaitlim. Saknes vērtību iegūsit kā decimālo daļu, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.

   • Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Saknes skaitlis ir 3. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 1 (√1 = 1) un 4 (√4 = 2). Tādējādi √3 vērtība ir no 1 līdz 2. Tā kā √3 vērtība, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aplēse ir šāda: √3 = 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ja veicat aprēķinus, izmantojot kalkulatoru, jūs saņemsiet 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.
     • Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet √35. Saknes skaitlis ir 35. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 25 (√25 = 5) un 36 (√36 = 6). Tādējādi √35 vērtība ir no 5 līdz 6. Tā kā √35 vērtība ir daudz tuvāka 6 nekā tā ir 5 (jo 35 ir tikai par 1 mazāka par 36), mēs varam teikt, ka √35 ir nedaudz mazāka par 6. Pārbaude ar kalkulatoru dod mums atbildi 5.92 - mums bija taisnība.

4. Vēl viens veids ir sadalīt saknes skaitli galvenajos faktoros. Pirmfaktori ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši sevi. Uzrakstiet primāros faktorus pēc kārtas un atrodiet identisku faktoru pārus. Šādus faktorus var izņemt no saknes zīmes.

   • Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 45. Saknes skaitli sadalām pirmfaktoros: 45 \u003d 9 x 5 un 9 \u003d 3 x 3. Tādējādi √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). No saknes zīmes var izņemt 3: √45 = 3√5. Tagad mēs varam novērtēt √5.
   • Apsveriet citu piemēru: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Jums ir trīs reizinātāji 2; paņemiet pāris no tiem un izņemiet tos no saknes zīmes.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Tagad mēs varam novērtēt √2 un √11 un atrast aptuvenu atbildi.

   Kvadrātsaknes manuāla aprēķināšana

   Izmantojot kolonnu dalījumu

   1. Šī metode ietver procesu, kas līdzīgs garajai dalīšanai, un sniedz precīzu atbildi. Vispirms novelciet vertikālu līniju, kas sadala lapu divās daļās, un pēc tam novelciet horizontālu līniju pa labi un nedaudz zem lapas augšējās malas līdz vertikālajai līnijai. Tagad sadaliet saknes skaitli skaitļu pāros, sākot ar daļskaitli pēc komata. Tātad numurs 79520789182.47897 tiek rakstīts kā "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Piemēram, aprēķināsim kvadrātsakni no skaitļa 780.14. Uzzīmējiet divas līnijas (kā parādīts attēlā) un augšējā kreisajā stūrī ierakstiet skaitli "7 80, 14". Tas ir normāli, ka pirmais cipars no kreisās puses ir nepāra cipars. Atbilde (norādītā skaitļa sakne) tiks ierakstīta augšējā labajā stūrī.

   2. Dots pirmais skaitļu pāris (vai viens skaitlis) no kreisās puses, atrodiet lielāko veselo skaitli n, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar attiecīgo skaitļu pāri (vai vienu skaitli). Citiem vārdiem sakot, atrodiet kvadrātveida skaitli, kas ir vistuvāk pirmajam skaitļu pārim (vai vienam skaitlim) no kreisās puses, bet mazāks par to, un ņemiet šī kvadrātskaitļa kvadrātsakni; jūs saņemsiet numuru n. Augšējā labajā stūrī ierakstiet atrasto n, bet apakšējā labajā stūrī pierakstiet kvadrātu n.

      • Mūsu gadījumā pirmais cipars pa kreisi būs cipars 7. Tālāk 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Atņemiet tikko atrastā skaitļa n kvadrātu no pirmā skaitļu pāra (vai viena skaitļa) no kreisās puses. Aprēķina rezultātu ierakstiet zem apakšdaļas (skaitļa n kvadrāts).

      • Mūsu piemērā no 7 atņemiet 4, lai iegūtu 3.

   4. Noņemiet otro skaitļu pāri un pierakstiet to blakus vērtībai, kas iegūta iepriekšējā darbībā. Pēc tam dubultojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā otrais skaitļu pāris ir "80". Ierakstiet "80" aiz 3. Pēc tam, dubultojot skaitli no augšējās labās puses, iegūstiet 4. Apakšējā labajā stūrī ierakstiet "4_×_=".

   5. Labajā pusē aizpildiet tukšās vietas.

      • Mūsu gadījumā, ja domuzīmju vietā ievietojam skaitli 8, tad 48 x 8 \u003d 384, kas ir vairāk nekā 380. Tāpēc 8 ir pārāk liels skaitlis, bet 7 ir labi. Defises vietā ierakstiet 7 un iegūstiet: 47 x 7 \u003d 329. Augšējā labajā stūrī ierakstiet 7 - tas ir otrais cipars vēlamajā skaitļa 780.14 kvadrātsaknē.

   6. Atņemiet iegūto skaitli no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē. Ierakstiet iepriekšējā soļa rezultātu zem pašreizējā skaitļa kreisajā pusē, atrodiet atšķirību un ierakstiet to zem atņemtā.

      • Mūsu piemērā no 380 atņemiet 329, kas ir vienāds ar 51.

   7. Atkārtojiet 4. darbību. Ja nojauktais skaitļu pāris ir sākotnējā skaitļa daļēja daļa, tad ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju (komatu) vēlamajā kvadrātsaknē no augšējās labās puses. Kreisajā pusē pārnesiet uz leju nākamo skaitļu pāri. Divkāršojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā nākamais skaitļu pāris, kas jānojauc, būs skaitļa 780.14 daļēja daļa, tāpēc ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju vajadzīgajā kvadrātsaknē no augšējās labās puses. Nojauciet 14 un pierakstiet apakšējā kreisajā stūrī. Divkāršs augšējā labajā stūrī (27) ir 54, tāpēc apakšējā labajā stūrī ierakstiet "54_×_=".

   8. Atkārtojiet 5. un 6. darbību. Labajā pusē atrodiet lielāko skaitli domuzīmju vietā (domuzīmju vietā ir jāaizstāj tas pats skaitlis), lai reizināšanas rezultāts būtu mazāks vai vienāds ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē.

      • Mūsu piemērā 549 x 9 = 4941, kas ir mazāks par pašreizējo skaitli kreisajā pusē (5114). Augšējā labajā pusē ierakstiet 9 un atņemiet reizināšanas rezultātu no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ja kvadrātsaknei jāatrod vairāk zīmju aiz komata, ierakstiet nulles pāri blakus pašreizējam skaitlim kreisajā pusē un atkārtojiet 4., 5. un 6. darbību. Atkārtojiet darbības, līdz iegūstat vajadzīgās atbildes precizitāti (skaits no decimālzīmes).

   Procesa izpratne

   Par asimilāciju šī metode padomājiet par skaitli, kura kvadrātsakni vēlaties atrast kā kvadrāta S laukumu. Šajā gadījumā jūs meklēsit šāda kvadrāta malas L garumu. Aprēķiniet L vērtību, kurai L² = S.

   Katram atbildes ciparam ievadiet burtu. Apzīmē ar A pirmo ciparu L vērtībā (vēlamā kvadrātsakne). B būs otrais cipars, C trešais un tā tālāk.

   Norādiet burtu katram sākuma ciparu pārim. Apzīmē ar S a pirmo ciparu pāri vērtībā S, ar S b otro ciparu pāri un tā tālāk.

   Izskaidrojiet šīs metodes saistību ar garo dalīšanu. Tāpat kā dalīšanas operācijā, kur katru reizi mūs interesē tikai viens nākamais dalāmā skaitļa cipars, aprēķinot kvadrātsakni, mēs strādājam ar ciparu pāri pēc kārtas (lai iegūtu nākamo vienu ciparu kvadrātsaknes vērtībā) .

   1. Apsveriet skaitļa S pirmo ciparu pāri Sa (mūsu piemērā Sa = 7) un atrodiet tā kvadrātsakni.Šajā gadījumā meklētās kvadrātsaknes vērtības pirmais cipars A būs tāds cipars, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar S a (tas ir, mēs meklējam tādu A, kas apmierina nevienādību A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Pieņemsim, ka mums ir jāsadala 88962 ar 7; šeit pirmais solis būs līdzīgs: mēs ņemam vērā dalāmā skaitļa 88962 pirmo ciparu (8) un izvēlamies lielāko skaitli, kas, reizinot ar 7, iegūst vērtību, kas ir mazāka vai vienāda ar 8. Tas ir, mēs meklējam skaitlis d, kuram ir patiesa nevienādība: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Garīgi iedomājieties kvadrātu, kura laukums jums jāaprēķina. Jūs meklējat L, tas ir, kvadrāta malas garumu, kura laukums ir S. A, B, C ir skaitļi skaitļā L. Varat to rakstīt citādi: 10A + B \u003d L (diviem -ciparu skaitlis) vai 100A + 10B + C \u003d L (trīsciparu skaitlim) un tā tālāk.

      • Ļaujiet būt (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atcerieties, ka 10A+B ir skaitlis, kura B apzīmē vieniniekus un A apzīmē desmitus. Piemēram, ja A=1 un B=2, tad 10A+B ir vienāds ar skaitli 12. (10A+B)² ir visa laukuma platība, 100A² ir lielā iekšējā kvadrāta laukums, B² ir mazā iekšējā kvadrāta laukums, 10A × B ir katra no diviem taisnstūriem laukums. Pievienojot aprakstīto figūru laukumus, jūs atradīsit sākotnējā kvadrāta laukumu.

Apsveicam: šodien mēs analizēsim saknes - vienu no prātīgākajām tēmām 8. klasē. :)

Daudzi cilvēki neizpratnē par saknēm ir nevis tāpēc, ka tās ir sarežģītas (kas ir sarežģīti - pāris definīcijas un vēl pāris īpašības), bet gan tāpēc, ka lielākajā daļā skolu mācību grāmatu saknes tiek definētas caur tādiem mežonīgiem burtiem, ka to var tikai paši grāmatu autori. saproti šo skribelēšanu. Un arī tad tikai ar pudeli laba viskija. :)

Tāpēc tagad es sniegšu vispareizāko un kompetentāko saknes definīciju - vienīgo, kas jums patiešām vajadzētu atcerēties. Un tikai tad es paskaidrošu: kāpēc tas viss ir nepieciešams un kā to pielietot praksē.

Bet vispirms atcerieties vienu svarīgu punktu, par kuru nez kāpēc "aizmirst" daudzi mācību grāmatu sastādītāji:

Saknes var būt pāra pakāpes (mūsu iecienītākā $\sqrt(a)$, kā arī jebkura $\sqrt(a)$ un pat $\sqrt(a)$) un nepāra pakāpe (jebkura $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ utt.). Un nepāra pakāpes saknes definīcija nedaudz atšķiras no pāra.

Šeit šajā sasodītā “nedaudz savādākā” slēpjas, iespējams, 95% no visām ar saknēm saistītajām kļūdām un pārpratumiem. Tāpēc vienreiz un uz visiem laikiem noskaidrosim terminoloģiju:

Definīcija. Pat sakne n no skaitļa $a$ ir jebkurš nenegatīvs skaitlis $b$, lai $((b)^(n))=a$. Un nepāra pakāpes sakne no tā paša skaitļa $a$ parasti ir jebkurš skaitlis $b$, kuram spēkā ir tā pati vienādība: $((b)^(n))=a$.

Jebkurā gadījumā sakne tiek apzīmēta šādi:

\(a)\]

Skaitli $n$ šādā apzīmējumā sauc par saknes eksponentu, bet skaitli $a$ par radikālo izteiksmi. Konkrēti, par $n=2$ mēs iegūstam savu “mīļāko” kvadrātsakni (starp citu, šī ir pāra pakāpes sakne), un par $n=3$ iegūstam kubiksakni (nepāra pakāpi), kas bieži sastopams arī problēmās un vienādojumos.

Piemēri. Klasiski kvadrātsakņu piemēri:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(līdzināt)\]

Starp citu, $\sqrt(0)=0$ un $\sqrt(1)=1$. Tas ir diezgan loģiski, jo $((0)^(2))=0$ un $((1)^(2))=1$.

Bieži sastopamas arī kubiskās saknes - nebaidieties no tām:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(līdzināt)\]

Nu, pāris "eksotiski piemēri":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(līdzināt)\]

Ja nesaprotat, kāda ir atšķirība starp pāra un nepāra pakāpi, vēlreiz izlasiet definīciju. Tas ir ļoti svarīgi!

Tikmēr mēs apsvērsim vienu nepatīkamu sakņu iezīmi, kuras dēļ mums vajadzēja ieviest atsevišķu definīciju pāra un nepāra eksponentiem.

Kāpēc mums vispār vajadzīgas saknes?

Pēc definīcijas izlasīšanas daudzi skolēni jautās: "Ko matemātiķi smēķēja, kad viņi to izdomāja?" Un tiešām: kāpēc mums ir vajadzīgas visas šīs saknes?

Lai atbildētu uz šo jautājumu, atgriezīsimies uz brīdi pamatklases. Atcerieties: tajos tālajos laikos, kad koki bija zaļāki un pelmeņi garšīgāki, mūsu galvenā rūpe bija pareizi reizināt skaitļus. Nu, kaut kas garā "pieci reiz pieci - divdesmit pieci", tas arī viss. Bet galu galā skaitļus var reizināt nevis pa pāriem, bet gan trīskāršos, četrinieku un parasti veselās kopās:

\[\begin(līdzināt) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(līdzināt)\]

Tomēr tas nav galvenais. Triks ir atšķirīgs: matemātiķi ir slinki cilvēki, tāpēc viņiem bija jāpieraksta desmit piecinieku reizinājums šādi:

Tāpēc viņi nāca klajā ar grādiem. Kāpēc gan neierakstīt faktoru skaitu kā virsrakstu, nevis garu virkni? Kā šis:

Tas ir ļoti ērti! Visi aprēķini tiek samazināti vairākas reizes, un jūs nevarat iztērēt piezīmju grāmatiņu pergamenta loksnes, lai pierakstītu kādu 5 183. Šādu ierakstu sauca par skaitļa pakāpi, tajā tika atrasts īpašību ķekars, taču laime izrādījās īslaicīga.

Pēc grandioza iedzeršanas, kas tika organizēta tikai par grādu "atklāšanu", kāds īpaši nomākts matemātiķis pēkšņi jautāja: "Ko darīt, ja mēs zinām skaitļa pakāpi, bet nezinām pašu skaitli?" Patiešām, ja mēs zinām, ka, piemēram, noteikts skaitlis $b$ dod 243 uz 5. pakāpi, tad kā mēs varam uzminēt, ar ko ir vienāds pats skaitlis $b$?

Šī problēma izrādījās daudz globālāka, nekā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena. Jo izrādījās, ka lielākajai daļai "gatavu" grādu šādu "sākotnējo" skaitļu nav. Spriediet paši:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(līdzināt)\]

Ko darīt, ja $((b)^(3))=50 $? Izrādās, ka jāatrod noteikts skaitlis, kuru, reizinot ar sevi trīs reizes, mēs iegūsim 50. Bet kāds ir šis skaitlis? Tas nepārprotami ir lielāks par 3, jo 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. T.i. šis skaitlis ir kaut kur starp trīs un četriem, bet ar ko tas ir vienāds - FIG jūs sapratīsit.

Tieši tāpēc matemātiķi izdomāja $n$-th saknes. Tāpēc tika ieviesta radikālā ikona $\sqrt(*)$. Lai apzīmētu to pašu skaitli $b$, kas norādītajā pakāpē dos mums iepriekš zināmu vērtību

\[\sqrt[n](a)=b\Labā bultiņa ((b)^(n))=a\]

Es nestrīdos: bieži šīs saknes ir viegli apsvērtas - mēs redzējām vairākus šādus piemērus iepriekš. Tomēr vairumā gadījumu, ja jūs domājat par patvaļīgu skaitli un pēc tam mēģināt no tā iegūt patvaļīgas pakāpes sakni, jūs saskaraties ar nežēlīgu kļūdu.

Kas ir tur! Pat visvienkāršāko un pazīstamāko $\sqrt(2)$ nevar attēlot mūsu parastajā formā - kā veselu skaitli vai daļskaitli. Un, ja jūs ievadīsit šo skaitli kalkulatorā, jūs redzēsit šo:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kā redzat, aiz komata ir bezgalīga skaitļu virkne, kas nepakļaujas nekādai loģikai. Jūs, protams, varat noapaļot šo skaitli, lai ātri salīdzinātu ar citiem skaitļiem. Piemēram:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aptuveni 1,4 \lt 1,5\]

Vai arī šeit ir vēl viens piemērs:

\[\sqrt(3)=1,73205...\aptuveni 1,7 \gt 1,5\]

Taču visi šie noapaļojumi, pirmkārt, ir diezgan aptuveni; otrkārt, jāprot strādāt arī ar aptuvenām vērtībām, pretējā gadījumā var pieķert kaudzi nepārprotamu kļūdu (starp citu, prasme salīdzināt un noapaļot bez neizdošanās pārbaudīts profila eksāmenā).

Tāpēc nopietnā matemātikā nevar iztikt bez saknēm - tie ir vieni un tie paši visu reālo skaitļu kopas $\mathbb(R)$, kā arī mums jau sen pazīstamo daļskaitļu un veselo skaitļu kopas pārstāvji.

Tas, ka sakni nav iespējams attēlot kā daļu no formas $\frac(p)(q)$, nozīmē, ka šī sakne nav racionāls skaitlis. Šādus skaitļus sauc par iracionāliem, un tos nevar precīzi attēlot, kā vien ar radikāļu vai citu tam īpaši paredzētu konstrukciju palīdzību (logaritmi, grādi, robežas utt.). Bet par to vairāk citreiz.

Apsveriet dažus piemērus, kur pēc visiem aprēķiniem atbildē joprojām paliks neracionāli skaitļi.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\apmēram 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\apmēram -12599... \\ \end(līdzināt)\]

Protams, pēc izskats sakne ir gandrīz neiespējama uzminēt, kādi skaitļi nāks aiz komata. Tomēr ir iespējams aprēķināt ar kalkulatoru, taču pat vismodernākais datuma kalkulators mums sniedz tikai dažus pirmos iracionālā skaitļa ciparus. Tāpēc daudz pareizāk ir atbildes rakstīt kā $\sqrt(5)$ un $\sqrt(-2)$.

Tam tie tika izdomāti. Lai būtu viegli pierakstīt atbildes.

Kāpēc ir vajadzīgas divas definīcijas?

Uzmanīgais lasītājs droši vien jau ir pamanījis, ka visas piemēros norādītās kvadrātsaknes ir ņemtas no pozitīviem skaitļiem. Nu vismaz no nulles. Bet kuba saknes mierīgi izvelk no pilnīgi jebkura skaitļa – pat pozitīva, pat negatīva.

Kāpēc tas notiek? Apskatiet funkcijas $y=((x)^(2))$ grafiku:

Kvadrātfunkcijas grafiks dod divas saknes: pozitīvo un negatīvo

Mēģināsim aprēķināt $\sqrt(4)$, izmantojot šo grafiku. Lai to izdarītu, grafikā tiek novilkta horizontāla līnija $y=4$ (atzīmēta ar sarkanu), kas krusto parabolu divos punktos: $((x)_(1))=2$ un $((x) _(2)) = -2 $. Tas ir diezgan loģiski, jo

Ar pirmo skaitli viss ir skaidrs - tas ir pozitīvs, tāpēc tā ir sakne:

Bet ko tad darīt ar otro punktu? Vai 4 ir divas saknes vienlaikus? Galu galā, ja skaitli −2 kvadrātā, mēs iegūstam arī 4. Kāpēc tad neierakstīt $\sqrt(4)=-2$? Un kāpēc skolotāji uz tādiem ierakstiem skatās tā, it kā gribētu tevi apēst? :)

Problēma ir tāda, ka, ja netiks izvirzīti papildu nosacījumi, tad četriniekam būs divas kvadrātsaknes - pozitīva un negatīva. Un jebkuram pozitīvam skaitlim būs arī divi no tiem. Bet negatīviem skaitļiem vispār nebūs sakņu - to var redzēt no tā paša grafika, jo parabola nekad nenokrīt zem ass y, t.i. neņem negatīvas vērtības.

Līdzīga problēma rodas visām saknēm ar vienmērīgu eksponentu:

1. Stingri sakot, katram pozitīvajam skaitlim būs divas saknes ar pāra eksponentu $n$;
2. No negatīviem skaitļiem sakne ar pat $n$ netiek izvilkta vispār.

Tāpēc pāra saknes $n$ definīcija īpaši nosaka, ka atbildei ir jābūt nenegatīvam skaitlim. Tā mēs atbrīvojamies no neskaidrības.

Bet nepāra $n$ tādas problēmas nav. Lai to redzētu, apskatīsim funkcijas $y=((x)^(3))$ grafiku:

Kubiskā parabola iegūst jebkuru vērtību, tāpēc kuba sakni var ņemt no jebkura skaitļa

No šīs diagrammas var izdarīt divus secinājumus:

1. Kubiskās parabolas zari, atšķirībā no parastās, iet līdz bezgalībai abos virzienos - gan uz augšu, gan uz leju. Tāpēc neatkarīgi no tā, kādā augstumā mēs novelkam horizontālu līniju, šī līnija noteikti krustosies ar mūsu grafiku. Tāpēc kuba sakni vienmēr var ņemt, absolūti no jebkura skaitļa;
2. Turklāt šāds krustojums vienmēr būs unikāls, tāpēc jums nav jādomā, kuru skaitli uzskatīt par “pareizo” sakni un kuru vērtēt. Tāpēc nepāra pakāpes sakņu definīcija ir vienkāršāka nekā pāra pakāpei (nav nenegatīvisma prasības).

Žēl, ka lielākajā daļā mācību grāmatu šīs vienkāršās lietas nav izskaidrotas. Tā vietā mūsu smadzenes sāk planēt ar visu veidu aritmētiskām saknēm un to īpašībām.

Jā, es nestrīdos: kas ir aritmētiskā sakne - jums arī jāzina. Un es par to sīkāk runāšu atsevišķā nodarbībā. Šodien arī par to runāsim, jo ​​bez tā visas pārdomas par $n$-tās daudzveidības saknēm būtu nepilnīgas.

Bet vispirms jums ir skaidri jāsaprot definīcija, ko es sniedzu iepriekš. Citādi terminu pārpilnības dēļ galvā sāksies tāds bardaks, ka beigās vispār neko nesapratīsi.

Un viss, kas jums jāsaprot, ir atšķirība starp pāra un nepāra skaitļiem. Tāpēc vēlreiz apkoposim visu, kas jums patiešām jāzina par saknēm:

1. Pāra sakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa un pati vienmēr ir nenegatīvs skaitlis. Negatīviem skaitļiem šāda sakne nav definēta.
2. Bet nepāra pakāpes sakne pastāv no jebkura skaitļa un pati var būt jebkurš skaitlis: pozitīviem skaitļiem tas ir pozitīvs, un negatīviem skaitļiem, kā norāda vāciņš, tas ir negatīvs.

Vai tas ir grūti? Nē, tas nav grūti. Saprotams? Jā, tas ir skaidrs! Tāpēc tagad nedaudz praktizēsimies ar aprēķiniem.

Pamatīpašības un ierobežojumi

Saknēm ir daudz dīvainu īpašību un ierobežojumu - tā būs atsevišķa nodarbība. Tāpēc tagad mēs apsvērsim tikai vissvarīgāko "mikroshēmu", kas attiecas tikai uz saknēm ar vienmērīgu eksponentu. Mēs rakstām šo īpašību formulas veidā:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Citiem vārdiem sakot, ja mēs paaugstināsim skaitli līdz pāra pakāpei un pēc tam izņemsim no tā tās pašas pakāpes sakni, mēs iegūsim nevis sākotnējo skaitli, bet gan tā moduli. Šī ir vienkārša teorēma, kuru ir viegli pierādīt (pietiek atsevišķi aplūkot nenegatīvos $x$ un pēc tam atsevišķi apsvērt negatīvos). Skolotāji par to nemitīgi runā, tas ir dots katrā skolas mācību grāmatā. Bet, tiklīdz runa ir par iracionālu vienādojumu (t.i., vienādojumu, kas satur radikāļa zīmi) risināšanu, skolēni kopā aizmirst šo formulu.

Lai detalizēti izprastu problēmu, uz minūti aizmirsīsim visas formulas un mēģināsim saskaitīt divus skaitļus uz priekšu:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Tie ir ļoti vienkārši piemēri. Pirmo piemēru atrisinās lielākā daļa cilvēku, bet otrajā daudzi paliek. Lai bez problēmām atrisinātu šādas nedienas, vienmēr apsveriet procedūru:

1. Pirmkārt, skaitlis tiek palielināts līdz ceturtajai pakāpei. Nu, tas ir diezgan vienkārši. Tiks iegūts jauns skaitlis, kuru var atrast pat reizināšanas tabulā;
2. Un tagad no šī jaunā skaitļa ir nepieciešams izvilkt ceturtās pakāpes sakni. Tie. nav sakņu un grādu "samazināšanas" - tās ir secīgas darbības.

Tiksim galā ar pirmo izteiksmi: $\sqrt(((3)^(4)))$. Acīmredzot vispirms ir jāaprēķina izteiksme zem saknes:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Tad mēs iegūstam skaitļa 81 ceturto sakni:

Tagad darīsim to pašu ar otro izteiksmi. Pirmkārt, mēs paaugstinām skaitli −3 līdz ceturtajai pakāpei, kurai tas jāreizina ar sevi 4 reizes:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ pa kreisi (-3 \right)=81\]

Mēs saņēmām pozitīvu skaitli, jo kopējais mīnusu skaits produktā ir 4 gabali, un tie visi viens otru atstās (galu galā mīnus ar mīnusu dod plusu). Pēc tam vēlreiz izņemiet sakni:

Principā šo rindu nevarēja uzrakstīt, jo nav prāta, ka atbilde būs tāda pati. Tie. vienādas jaudas vienmērīga sakne "sadedzina" mīnusus, un šajā ziņā rezultāts neatšķiras no parastā moduļa:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(līdzināt)\]

Šie aprēķini labi saskan ar pāra pakāpes saknes definīciju: rezultāts vienmēr nav negatīvs, un radikālā zīme vienmēr ir arī nenegatīvs skaitlis. Pretējā gadījumā sakne nav definēta.

Piezīme par darbību secību

1. Apzīmējums $\sqrt(((a)^(2)))$ nozīmē, ka vispirms skaitli $a$ mēs kvadrātā un pēc tam iegūstam kvadrātsakni no iegūtās vērtības. Tāpēc mēs varam būt pārliecināti, ka nenegatīvs skaitlis vienmēr atrodas zem saknes zīmes, jo $((a)^(2))\ge 0$ tik un tā;
2. Bet apzīmējums $((\left(\sqrt(a) \right)))^(2))$, gluži pretēji, nozīmē, ka mēs vispirms izņemam sakni no noteikta skaitļa $a$ un tikai pēc tam rezultātu kvadrātā. Tāpēc skaitlis $a$ nekādā gadījumā nevar būt negatīvs - tā ir definīcijā iestrādāta obligāta prasība.

Tādējādi nekādā gadījumā nevajadzētu neapdomīgi samazināt saknes un pakāpes, tādējādi it kā "vienkāršojot" sākotnējo izteiksmi. Jo, ja zem saknes ir negatīvs skaitlis un tā eksponents ir pāra, mēs iegūsim daudz problēmu.

Tomēr visas šīs problēmas attiecas tikai uz vienmērīgiem rādītājiem.

Mīnusa zīmes noņemšana zem saknes zīmes

Protams, saknēm ar nepāra eksponentiem ir arī sava iezīme, kas principā nepastāv pāriem. Proti:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Īsāk sakot, no nepāra pakāpes sakņu zīmes varat izņemt mīnusu. Tas ir ļoti noderīgs īpašums, kas ļauj "izmest" visus mīnusus:

\[\begin(līdzināt) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(līdzināt)\]

Šis vienkāršais īpašums ievērojami vienkāršo daudzus aprēķinus. Tagad jums nav jāuztraucas: kā būtu, ja negatīva izteiksme nonāk zem saknes un saknes grāds ir vienmērīgs? Pietiek tikai "izmest" visus mīnusus ārpus saknēm, pēc tam tos var reizināt savā starpā, sadalīt un vispār izdarīt daudzas aizdomīgas lietas, kas "klasisko" sakņu gadījumā mūs garantēti novedīs pie kļūda.

Un šeit parādās cita definīcija - tā, ar kuru lielākā daļa skolu sāk iracionālu izteicienu izpēti. Un bez kura mūsu argumentācija būtu nepilnīga. Iepazīstieties!

aritmētiskā sakne

Uz brīdi pieņemsim, ka zem saknes zīmes var atrasties tikai pozitīvi skaitļi vai, ārkārtējos gadījumos, nulle. Novērtēsim pāra / nepāra rādītājus, punktus par visām iepriekš sniegtajām definīcijām - mēs strādāsim tikai ar nenegatīviem skaitļiem. Ko tad?

Un tad mēs iegūstam aritmētisko sakni – tā daļēji krustojas ar mūsu "standarta" definīcijām, bet tomēr atšķiras no tām.

Definīcija. Nenegatīva skaitļa $n$. pakāpes aritmētiskā sakne ir nenegatīvs skaitlis $b$ tā, ka $((b)^(n))=a$.

Kā redzat, paritāte mūs vairs neinteresē. Tā vietā parādījās jauns ierobežojums: radikālā izteiksme tagad vienmēr nav negatīva, un pati sakne arī nav negatīva.

Lai labāk saprastu, kā aritmētiskā sakne atšķiras no parastās, apskatiet mums jau pazīstamos kvadrātveida un kubiskās parabolas grafikus:

Saknes meklēšanas apgabals - nenegatīvi skaitļi

Kā redzat, turpmāk mūs interesē tikai tie grafiku gabali, kas atrodas pirmajā koordinātu ceturksnī - kur koordinātas $x$ un $y$ ir pozitīvas (vai vismaz nulle). Jums vairs nav jāskatās uz indikatoru, lai saprastu, vai mums ir tiesības sakņot negatīvu skaitli vai nav. Jo negatīvos skaitļus principā vairs neuzskata.

Jūs varat jautāt: "Nu, kāpēc mums ir vajadzīga tik kastrēta definīcija?" Vai arī: "Kāpēc mēs nevaram iztikt ar iepriekš sniegto standarta definīciju?"

Nu, es došu tikai vienu īpašumu, kura dēļ jaunā definīcija kļūst piemērota. Piemēram, kāpināšanas noteikums:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Lūdzu, ņemiet vērā: mēs varam paaugstināt saknes izteiksmi līdz jebkurai pakāpei un tajā pašā laikā reizināt saknes eksponentu ar tādu pašu pakāpju - un rezultāts būs tāds pats skaitlis! Šeit ir daži piemēri:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(līdzināt)\]

Nu, kas tur slikts? Kāpēc mēs to nevarējām izdarīt agrāk? Lūk, kāpēc. Apsveriet vienkāršu izteiksmi: $\sqrt(-2)$ ir skaitlis, kas ir diezgan normāls mūsu klasiskajā izpratnē, bet absolūti nepieņemams no aritmētiskās saknes viedokļa. Mēģināsim to pārvērst:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kā redzat, pirmajā gadījumā mēs izņēmām mīnusu no zem radikāļa (mums ir visas tiesības, jo rādītājs ir nepāra), bet otrajā mēs izmantojām iepriekš minēto formulu. Tie. no matemātikas viedokļa viss notiek pēc noteikumiem.

WTF?! Kā viens un tas pats skaitlis var būt gan pozitīvs, gan negatīvs? Nevar būt. Vienkārši kāpināšanas formula, kas lieliski darbojas pozitīviem skaitļiem un nullei, negatīvu skaitļu gadījumā sāk radīt pilnīgu ķecerību.

Šeit, lai atbrīvotos no šādas neskaidrības, viņi izdomāja aritmētiskās saknes. Viņiem ir veltīta atsevišķa liela nodarbība, kurā mēs detalizēti apsveram visas to īpašības. Tāpēc tagad pie tiem nekavēsimies – nodarbība tik un tā izrādījās par garu.

Algebriskā sakne: tiem, kas vēlas uzzināt vairāk

Ilgi domāju: taisīt šo tēmu atsevišķā rindkopā vai nē. Galu galā es nolēmu aizbraukt no šejienes. Šis materiāls ir paredzēts tiem, kas vēlas vēl labāk izprast saknes - nevis vidējā “skolas”, bet gan olimpiādei pietuvinātā līmenī.

Tātad: papildus "klasiskajai" definīcijai $n$-tās pakāpes saknei no skaitļa un ar to saistītajam dalījumam pāra un nepāra rādītājos, ir vairāk "pieaugušo" definīcija, kas nav atkarīga no paritātes un citi smalkumi vispār. To sauc par algebrisko sakni.

Definīcija. Jebkuras $a$ algebriskā $n$-tā sakne ir visu skaitļu $b$ kopa, kurā $((b)^(n))=a$. Šādām saknēm nav vispāratzīta apzīmējuma, tāpēc vienkārši uzvelciet augšpusē domuzīmi:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Būtiskā atšķirība no nodarbības sākumā sniegtās standarta definīcijas ir tāda, ka algebriskā sakne nav konkrēts skaitlis, bet gan kopa. Tā kā mēs strādājam ar reāliem skaitļiem, šī kopa ir tikai trīs veidu:

1. Tukšs komplekts. Rodas, ja no negatīva skaitļa jāatrod pāra pakāpes algebriskā sakne;
2. Komplekts, kas sastāv no viena elementa. Šajā kategorijā ietilpst visas nepāra pakāpju saknes, kā arī pāra pakāpju saknes no nulles;
3. Visbeidzot, komplektā var iekļaut divus skaitļus — tos pašus $((x)_(1))$ un $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ko redzējām diagrammas kvadrātiskā funkcija. Attiecīgi šāda izlīdzināšana ir iespējama tikai tad, ja no pozitīva skaitļa iegūst pāra pakāpes sakni.

Pēdējais gadījums ir pelnījis sīkāku izpēti. Saskaitīsim pāris piemērus, lai saprastu atšķirību.

Piemērs. Aprēķināt izteiksmes:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Lēmums. Pirmā izteiksme ir vienkārša:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\(2;-2 \right\)\]

Tie ir divi skaitļi, kas ir daļa no komplekta. Jo katrs no tiem kvadrātā dod četrinieku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Šeit mēs redzam kopu, kas sastāv tikai no viena skaitļa. Tas ir diezgan loģiski, jo saknes eksponents ir nepāra.

Visbeidzot, pēdējais izteiciens:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Mēs saņēmām tukšu komplektu. Jo nav neviena reāla skaitļa, kuru paaugstinot līdz ceturtajai (tas ir, pat!) jaudai, mēs iegūsim negatīvu skaitli −16.

Beigu piezīme. Lūdzu, ņemiet vērā: ne nejauši es visur atzīmēju, ka mēs strādājam ar reāliem skaitļiem. Jo ir vairāk kompleksie skaitļi- tur pilnīgi iespējams izrēķināt $\sqrt(-16)$, un daudzas citas dīvainas lietas.

Tomēr mūsdienu skolas matemātikas programmā sarežģīti skaitļi gandrīz nekad nav atrodami. Tie ir izlaisti lielākajā daļā mācību grāmatu, jo mūsu ierēdņi uzskata, ka tēma ir "pārāk grūti saprotama".