1. lapa
Kvadrātvienādojumi
Mūsdienu algebrā kvadrātvienādojums ir formas vienādojums
kur koeficienti 
jebkuri reāli skaitļi un 
Nepilns kvadrātvienādojums ir formas vienādojums
Piemērs a) 
Tātad vienādojumam ir divas saknes: 
Piemērs b)
Lēmums
Vienādojumam ir divas saknes: 
Piemērs ar) 
Lēmums
Vienādojumam ir divas saknes: 
Piemērs d)
Lēmums
Vienādojumam nav reālu sakņu.
Piemērs e) 
Lēmums
Šis vienādojums ir arī nepilnīgs kvadrātvienādojums, tam vienmēr ir viena sakne
Atrisinot kvadrātvienādojumus, var izmantot dažādas faktorizācijas metodes. Tātad, risinot vienādojumu b tika piemērota kopējā koeficienta izņemšanas metode. Ir vēl viens veids - grupēšanas veids.
Lēmums.
Atbilde: 
To pašu vienādojumu var atrisināt dažādos veidos. Apsveriet dažus no tiem, kā piemēru izmantojot kvadrātvienādojumu
I veidā.
Apsveriet kvadrātveida trinomu 
Faktorizēsim to ar grupēšanas metodi, iepriekš uzrādot summēšanu 
kā 
Mums ir
Tātad doto vienādojumu var pārrakstīt kā
Šim vienādojumam ir divas saknes: 
II
veidā
. Apsveriet kvadrātveida trinomu un faktorējiet to, izmantojot pilna kvadrāta metodi; Sākotnēji kā atšķirību attēlosim terminu 3 
. Mums ir
Izmantojot kvadrātu starpības formulu, mēs iegūstam
Tātad, trinoma saknes
III veidā - grafisks.
Apsveriet grafisku metodi vienādojumu risināšanai
Atrisiniet vienādojumu
Uzzīmēsim funkciju 
Virsotnes koordinātas:
Parabolas ass ir taisna 
Paņemiet divus punktus uz abscisu ass, simetriski ap parabolas asi, piemēram, punktus 
Šajos punktos atradīsim funkcijas vērtību 
caur punktiem 
un parabolas augšdaļa 
Uzzīmēsim funkciju.
Tātad vienādojuma saknes ir parabolas krustošanās punktu abscises ar abscisu asi, t.i.
Apsveriet citu vienādojuma grafiskā risinājuma variantu
Mēs ierakstām vienādojumu formā 
Konstruēsim funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā 
Tātad vienādojuma saknes ir konstruēto grafiku krustošanās punktu abscises
Sākotnējo vienādojumu var atrisināt vēl vairākos veidos, pārveidojot vienādojumu 
pie prāta 
vai uz skatu 
Pēc tam tiek ieviestas funkcijas, veidoti grafi un atrastas konstruēto funkciju grafiku krustošanās punktu abscises.
Skatīt 3. uzdevumu (1. pielikums).
IV veidā - izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu.
Atrisināt formas kvadrātvienādojumu 
varat izmantot šādu algoritmu:
Kā 
Šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šīs saknes atrodamas pēc formulas
Ja b ir pāra skaitlis, t.i. 
tad
Tipa vienādojums 
ir reducēts kvadrātvienādojums.
Ja cipari 
ir tādi 
tad šie skaitļi ir vienādojuma saknes. 
Ar šī apgalvojuma vai drīzāk Vietas teorēmai apgrieztā apgalvojuma palīdzību var atrisināt dotos kvadrātvienādojumus.
Tātad vienādojuma saknes
Ja vienādojumā summa 
tad viena vienādojuma sakne vienmēr ir 1, bet otru sakni aprēķina pēc formulas.
Vienādojumā summa tāpēc 
Skatīt 4. uzdevumu (1. pielikums).
Racionālie vienādojumi
Ja 
ir racionāla izteiksme, tad vienādojums 
sauc par racionālu vienādojumu.
Piemērs 
Pārbaudīsim atrastās saknes: 
tie. 
ir sākotnējā vienādojuma saknes.
Piemērs 
Atrisināsim vienādojumu, ieviešot mainīgo. Ļaujiet būt 
Tādējādi vienādojums tiks pārrakstīts formā 
No vienādojuma 
atrast 
Pārbaudīsim atrastās saknes 
Ciktāl 
Mums ir jāatrisina vēl divi vienādojumi:
un 
Pirmā vienādojuma saknes ir skaitļi 1 un -4, otrā vienādojuma saknes ir skaitļi 
Atbilde: 1, -4,
Jauna mainīgā ieviešanas metode tiek izmantota arī bikvadrātisko vienādojumu risināšanā.
Tipa vienādojums 
sauc par bikvadrātisku vienādojumu.
Piemērs 
Ieviesīsim mainīgo 
gūt
Atbilde: 2, -2.
Skatīt 5., 6. un 7. uzdevumu (1. pielikums).
Iracionālie vienādojumi
Ja vienādojumā zem zīmes ir mainīgais kvadrātsakne, tad šādu vienādojumu sauc par iracionālu.
Pievērsīsimies matemātikas vēstures lappusēm. Iracionālo skaitļu jēdziens bija zināms pitagoriešiem. Pitagora teorēma lika matemātiķiem atklāt nesalīdzināmus segmentus. Viņi saņēma pilnīgi paradoksālu apgalvojumu: kvadrāta diagonāles garums nav izmērāms ar nevienu naturālu skaitli. Šis apgalvojums iedragāja viņu mācības galveno tēzi: "viss ir skaitlis".
Nesalīdzināmības atklāšana parādīja, ka, ja ir tikai racionāli skaitļi, nav iespējams atrast jebkura segmenta garumu. Tas nozīmē, ka segmentu kopa ir daudz plašāka nekā racionālo skaitļu kopa. Grieķi nolēma veidot matemātiku nevis pa skaitļa jēdziena paplašināšanas ceļu, kas liktu viņiem apsvērt neracionālus skaitļus, bet gan ar ģeometrisko lielumu palīdzību. Atšķirībā no pitagoriešiem, Seno Austrumu zinātnieki izmantoja aptuvenus skaitļus bez jebkāda paskaidrojuma. Tā vietā viņi uzrakstīja 1,41 
, un 3 skaitļa vietā 
Atgriezīsimies pie mūsdienu matemātikas un apsvērsim veidus, kā atrisināt iracionālos vienādojumus.
Piemērs: 
Abu vienādojuma pušu kvadrātošanas metode ir galvenā neracionālo vienādojumu risināšanas metode.
Kvadrātveida noteikšanas metode ir vienkārša, taču dažkārt rada problēmas.
Piemērs: 
Bet jēga 
kas ir racionāla vienādojuma sakne 
nav dotā iracionālā vienādojuma sakne. Pārbaude apstiprinās šo apgalvojumu.
Pārbaude:
Iegūtajai izteiksmei nav jēgas. Pāra saknei nevar būt negatīvs skaitlis.
Secinājums: 
sveša sakne
Dotajam iracionālajam vienādojumam nav sakņu.
Piemērs: 
Pārbaude:
Ja 
tad 
- nepareizi
Ja 
tad
- nepareizi
Secinājums: dotajam iracionālajam vienādojumam nav sakņu.
Tātad iracionāls vienādojums tiek atrisināts, abas tā daļas kvadrātā; atrisinot iegūto racionālo vienādojumu, ir jāveic pārbaude, atsijājot iespējamās svešās saknes.
Piemērs: 
Pārbaude:
Ja 
tad 
- patiesa vienlīdzība.
Ja 
tad 
- patiesa vienlīdzība.
Tādējādi abas atrastās vērtības ir vienādojuma saknes.
Atbilde: 4; 5.
Piemērs: 
Mēs atrisināsim šo vienādojumu, ieviešot jaunu mainīgo.
Ļaujiet būt 
Atgriezīsimies pie sākotnējā mainīgā.
- pa labi,
- nepareizi.
Skatīt 8. uzdevumu (1. pielikums).
Mazliet teorijas
Definīcija. Divi vienādojumi 
un 
tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem, ja tiem ir vienādas saknes (vai, jo īpaši, ja abiem vienādojumiem nav sakņu).
Parasti, risinot vienādojumu, viņi cenšas šo vienādojumu aizstāt ar vienkāršāku, bet tam līdzvērtīgu. Šādas izmaiņas sauc par līdzvērtīgu vienādojuma transformāciju.
Šādas transformācijas ir vienādojuma ekvivalentas transformācijas:
1. Vienādojuma nosacījumu pārnešana no vienas vienādojuma daļas uz otru ar pretējām zīmēm.
Piemēram, mainot vienādojumu 
vienādojums 
ir līdzvērtīga vienādojuma transformācija. Tas nozīmē, ka vienādojumi un ir līdzvērtīgi.
2. Vienādojuma abu pušu reizināšana vai dalīšana ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle.
Piemēram, mainot vienādojumu 
vienādojums 
(abas vienādojuma daļas tika reizinātas ar terminu ar 10) ir līdzvērtīga vienādojuma transformācija.
Vienādojuma neekvivalentās transformācijas ir šādas transformācijas:
1. Atbrīvojums no saucējiem, kas satur mainīgos lielumus.
Piemēram, mainot vienādojumu 
vienādojums 
ir vienādojuma neekvivalenta transformācija. Lieta tāda, ka vienādojums ir divas saknes: 2 un –2, un dotajam vienādojumam ir vērtība 
nevar apmierināt (saucējs pazūd). Šādos gadījumos viņi saka: sveša sakne.
2. Abas vienādojuma puses kvadrātā.
Ja vienādojuma risināšanas procesā tika izmantota kāda no norādītajām neekvivalentajām transformācijām, tad visas atrastās saknes ir jāpārbauda, aizstājot to sākotnējā vienādojumā, jo starp tām var būt svešas saknes.
Definīcija.
Vienādojuma apgabals 
sauc par komplektu 
kur 
un 
– funkciju definīciju jomas f un g.
Piemērs 
Saskaitot daļdaļas kreisajā pusē, iegūstam vienādojumu
līdzvērtīgs oriģinālam. Šis vienādojums savukārt ir līdzvērtīgs sistēmai
Kvadrātvienādojumam ir saknes 
kur 
- sveša sakne.
Apsveriet vienādojuma risinājumu 
Tāpēc sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs kopai
vai 
vai 
vai 
Vienādojumi ar mainīgo zem moduļa zīmes
1. Skaitļa absolūtā vērtība a(apzīmēts |
a|
) ir attālums no punkta, kas apzīmē doto skaitli a uz koordinātu līnijas, līdz sākuma punktam.
No definīcijas izriet, ka 
Moduļa pamatīpašības
Piemērs 
Skaidrs, ka šeit ir divas iespējas: 
vai 
Kur ir viegli nokļūt
Atbilde: 
vai 
Ņemiet vērā, ka, risinot formas vienādojumus 
racionālākais veids ir pāreja uz kopumu
Piemērs 
Šeit iepriekšminētā tehnika atbrīvo mūs no nepieciešamības atrast kvadrātveida trinoma ar "nepatīkamām" saknēm nemainīguma intervālus.
Mums ir:
Atbilde: vai 
vai 
Skatīt 9. uzdevumu (1. pielikums).
Vienādojumi ar parametriem
Mazliet teorijas.
Ieviešot dažus jēdzienus, skolēni saskaras ar parametriem. Piemēram, tieši proporcionāla funkcija:
lineārā funkcija:
lineārais vienādojums:
kvadrātvienādojums:
Definīcija. Vienādojums - izskats un risinājumu, kas ir atkarīgs no viena vai vairāku parametru vērtībām, sauc par vienādojumu ar parametriem.
Atrisināt vienādojumu ar parametriem nozīmē
1. Atrodiet visas parametru vērtību sistēmas, kurām dotajam vienādojumam ir risinājumi.
2. Atrodiet visus risinājumus katrai atrastajai parametru vērtību sistēmai, t.i., nezināmajam un parametriem, jānorāda to pieļaujamo vērtību diapazoni.
Piemērs: 
Atbilde: Ja 
tad risinājumu nav; Piemērs:
Šie vienādojumi ir apvienoti uzdevumi, kuru risināšanas procesā standarta algoritmi veidojas un nostiprinās vienādojumu risināšana, kā arī prasme strādāt ar pieļaujamo vērtību diapazonu un sakņu atlase. Šie vienādojumi ir paredzēti kā individuāli uzdevumi spēcīgiem studentiem.
Vienādojumu pielietošana.
Navjē-Stoksa vienādojumi - sistēma diferenciālvienādojumi daļējos atvasinājumos, kas apraksta viskoza šķidruma kustību. Navjē-Stoksa vienādojumi ir vieni no svarīgākajiem hidrodinamikā un tiek izmantoti daudzu dabas parādību un tehnisko problēmu matemātiskajā modelēšanā. Nosaukts franču fiziķa Luisa Navjē un britu matemātiķa Džordža Stoksa vārdā.
Sistēma sastāv no nepārtrauktības vienādojuma kustības vienādojuma.
Viens no vienādojumu sistēmas pielietojumiem ir strāvu apraksts Zemes apvalkā.
Vienādojuma variācijas tiek izmantotas, lai aprakstītu atmosfēras gaisa masu kustību, jo īpaši, veidojot laika prognozi. Vienādojuma risinājumu analīze ir vienas no atklātajām problēmām, par kuru Māla matemātikas institūts piešķīra balvu 1 miljona ASV dolāru apmērā. Ir nepieciešams pierādīt vai atspēkot globāla vienmērīga Košī problēmas risinājuma esamību trīsdimensiju Navjē-Stoksa vienādojumiem.
Izmantotās literatūras saraksts
Mordkovičs A.G. Algebra. 7. klase: divās daļās. 1. daļa: Vispārējās izglītības mācību grāmata. iestādēm. – 5. izd. - M.: Mnemosyne, 2002. - 160 lpp.: ill.
Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase: divās daļās. 1. daļa: Vispārējās izglītības mācību grāmata. iestādēm. – 6. izd. – M.: Mnemozina, 2004. – 223 lpp.: ill.
A.G. Merzļaks, V.B. Polonskis, M.S. Yakir algebriskais simulators: rokasgrāmata skolēniem un pretendentiem / Red. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. – M.: Ileksa, 2001. – 320. gadi.
Krivonogovs V.V. Nestandarta uzdevumi matemātikā: 5.-11.klase. - M .: Izdevniecība "First of September", 2002. - 224 lpp.: ill.
1. lapa
Projektā aplūkota metode algebriskā vienādojuma sakņu aptuvenai atrašanai - Lobačevska–Grefa metode. Darbā definēta metodes ideja, tās skaitļošanas shēma, atrasti nosacījumi metodes pielietošanai. Dota Lobačevska–Grefa metodes realizācija
1 TEORĒTISKĀ DAĻA 6
1.1. Problēmas izklāsts 6
1.2. Algebriskie vienādojumi 7
1.2.1. Algebriskā vienādojuma pamatjēdzieni 7
1.2.2. 7. algebriskā vienādojuma saknes
1.2.3. Polinoma 9 reālo sakņu skaits
1.3. Lobačevska–Grefa metode algebrisko vienādojumu aptuvenai atrisināšanai 11
1.3.1. 11. metodes ideja
1.3.2. Sakņu kvadrāts 13
2.1. 1. uzdevums 16
2.2. 2. uzdevums 18
2.4. Rezultātu analīze 20
SAITES SARAKSTS 23
IEVADS
Mūsdienu datortehnoloģijas ir spēcīgs instruments reālai skaitīšanas darbu veikšanai. Pateicoties tam, daudzos gadījumos kļuva iespējams atteikties no pielietoto problēmu aptuvenās interpretācijas un pāriet uz problēmu risināšanu precīzā formulējumā. Mūsdienu datortehnoloģiju saprātīga izmantošana nav iedomājama bez aptuvenās un skaitliskās analīzes metožu prasmīgas pielietošanas.
Skaitliskās metodes ir vērstas uz praksē radušos problēmu risināšanu. Problēmas risinājums ar skaitliskām metodēm tiek reducēts uz aritmētiskām un loģiskām darbībām ar skaitļiem, kas prasa datortehnoloģiju izmantošanu, piemēram, personālajiem datoriem paredzēto moderno biroja programmu izklājlapu procesorus.
Disciplīnas "Ciparu metodes" mērķis ir atrast efektīvāko metodi konkrētas problēmas risināšanai.
Vienādojumu atrisināšana – algebriskā – ir viens no būtiskiem lietišķās analīzes uzdevumiem, pēc kura nepieciešamība rodas daudzās un dažādās fizikas, mehānikas, tehnikas un dabaszinātņu sadaļās šī vārda plašā nozīmē.
Kursa projekts ir veltīts vienai no algebrisko vienādojumu risināšanas metodēm - Lobačevska–Grefa metodei.
Šī darba mērķis ir apsvērt ideju par Lobačevska-Grefa metodi algebrisko risināšanai, prezentēt skaitļošanas shēmu reālu sakņu atrašanai, izmantojot MS Office Excel. Projektā tiek apskatīti galvenie teorētiskie jautājumi, kas saistīti ar algebrisko vienādojumu sakņu atrašanu, Lobačevska–Grefa metodi.Šā darba praktiskajā daļā tiek piedāvāti algebrisko vienādojumu risinājumi ar Lobačevska–Grefa metodi.
1 TEORĒTISKĀ DAĻA
1.1 Problēmas izklāsts
Dota elementu x kopa X un kopa Y ar elementiem y. Pieņemsim, ka kopā X ir definēts operators, kas katram elementam x no X piešķir kādu elementu y no Y. Ņem kādu elementu
un izvirzījām sev mērķi atrast šādus elementus 
, par kuru 
ir attēls. Šī problēma ir līdzvērtīga vienādojuma atrisināšanai
(1.1)
Viņam var rasties šādas problēmas.
Vienādojuma risinājuma pastāvēšanas nosacījumi.
Vienādojuma risinājuma unikalitātes nosacījums.
Risinājuma algoritms, pēc kura, atkarībā no mērķa un nosacījumiem, būtu iespējams atrast precīzi vai aptuveni visus (1.1) vienādojuma atrisinājumus, vai jebkuru iepriekš noteiktu risinājumu, vai kādu no esošajiem.
būs kāda funkcija. Šajā gadījumā vienādojumu (1.1) var ierakstīt formā 
(1.2)
Skaitlisko metožu teorijā tiek mēģināts konstruēt skaitļošanas procesu, ar kura palīdzību ar iepriekš noteiktu precizitāti var atrast vienādojuma (1.2) risinājumu. Īpaši svarīgi ir konverģences procesi, kas ļauj atrisināt vienādojumu ar jebkuru, patvaļīgi mazu kļūdu.
Mūsu uzdevums ir atrast, vispārīgi runājot, aptuveni elementu 
. Šim nolūkam tiek izstrādāts algoritms, kas rada aptuvenu risinājumu secību 
, un tādā veidā, ka attiecības
1.2. Algebriskie vienādojumi
1.2.1. Algebriskā vienādojuma pamatjēdzieni
Apsveriet algebrisko n-tais vienādojums grādiem
kur koeficienti 
ir reāli skaitļi un 
.
1.1. teorēma (algebras pamatteorēma). Algebriskais vienādojums n-tā pakāpe(1.3) ir tieši n saknes, reālas un sarežģītas, ar nosacījumu, ka katra sakne tiek skaitīta tik reižu, cik tās reizinājums.
Šajā gadījumā mēs sakām, ka vienādojuma (1.3) saknei ir daudzkārtība s, ja
, 
.
Vienādojuma (1.3) kompleksajām saknēm ir pāru konjugācijas īpašība.
Teorēma 1.2. Ja algebriskā vienādojuma (1.3) koeficienti ir reāli, tad šī vienādojuma kompleksās saknes ir pāru komplekss konjugāts, t.i. ja 
(
ir reāli skaitļi) ir vienādojuma (1.3) sakne reizinājumam s, tad skaitlis 
ir arī šī vienādojuma sakne, un tai ir tāda pati daudzkārtība s.
Sekas. Nepāra pakāpes algebriskajam vienādojumam ar reāliem koeficientiem ir vismaz viena reāla sakne.
1.2.2. Algebriskā vienādojuma saknes
Ja
ir vienādojuma (1.3) saknes, tad izvēršana ir derīga kreisajai pusei . (1.6)
Reizinot binomiālus formulā (1.6) un pielīdzinot koeficientus ar vienādām x pakāpēm vienādības (1.6) kreisajā un labajā daļā, iegūstam sakarību starp algebriskā vienādojuma (1.3) saknēm un koeficientiem:
(1.7)
Ja ņem vērā sakņu daudzveidību, tad izvērsums (1.6) iegūst formu
,
kur
ir dažādas (1) vienādojuma saknes un 
ir to daudzveidība, un 
.
Atvasinājums 
ir izteikts šādi:
kur Q(x) ir tāds polinoms, ka
ja k=1,2,…,m Tāpēc polinoms
ir polinoma lielākais kopīgais dalītājs
un tā atvasinājums 
, un to var atrast, izmantojot Eiklida algoritmu. Izveidojiet privātu 
,
un iegūstiet polinomu
ar reāliem koeficientiem
, A 1 , A 2 ,…, A m , kuras saknes 
savādāk. Tādējādi, atrisinot algebrisko vienādojumu ar vairākām saknēm, tiek atrisināts zemākas kārtas algebriskais vienādojums ar dažādām saknēm.
1.2.3. Polinoma reālo sakņu skaits
Vispārīgu priekšstatu par vienādojuma (1.3) reālo sakņu skaitu intervālā (a,b) sniedz funkcijas grafiks
, kur saknes 
ir grafa krustošanās punktu abscises ar asi Ox. Mēs atzīmējam dažas polinoma P(x) īpašības:
Ja P(a)P(b)
Ja P(a)P(b)>0, tad uz intervāla (a, b) ir pāra skaitlis vai polinoma P(x) sakņu nav vispār.
Definīcija. Dota sakārtota ierobežota reālo skaitļu sistēma, kas nav nulle:
,
,…,
(1.9)
Viņi saka, ka par pāris blakus esošajiem elementiem
, 
sistēmas (1.9) ir zīmju maiņa, ja šiem elementiem ir pretējas zīmes, t.i. 
,
un nav zīmju maiņas, ja to zīmes ir vienādas, t.i.
.
Definīcija. Kopējais zīmju izmaiņu skaits visiem blakus esošo elementu pāriem
, 
sistēmas (1.9) sauc par zīmju izmaiņu skaitu sistēmā (1.9). Definīcija. Dotam polinomam P(x) Šturma sistēma ir polinomu sistēma
,
, 
, 
,…, 
,
kur 
, vai atlikums tiek ņemts ar pretējo zīmi, dalot polinomu ar , vai atlikums tiek ņemts ar pretējo zīmi, dalot polinomu ar utt.
1. piezīme. Ja polinomam nav vairāku sakņu, tad pēdējais Šturma sistēmas elements ir reālais skaitlis, kas nav nulle.
2. piezīme. Sturm sistēmas elementus var aprēķināt līdz pozitīvam skaitliskajam faktoram.
Ar N(c) apzīmē zīmju izmaiņu skaitu Šturma sistēmā pie x=c, ja šīs sistēmas nulles elementi ir izsvītroti.
Teorēma 1.5. (Šturma teorēma). Ja polinomā P(x) nav vairāku zirgu un 
, 
, tad tā reālo sakņu skaits 
uz intervālu 
ir tieši vienāds ar polinoma Šturma sistēmā zaudēto zīmju izmaiņu skaitu 
pārvietojoties no 
pirms tam 
, t.i.
.
Secinājums 1. Ja
, tad numurs 
pozitīvs un skaitlis 
polinoma negatīvās saknes ir attiecīgi vienādas ar 
,
.
Secinājums 2. Lai visas n pakāpes polinoma P(x) saknes bez vairākām saknēm būtu reālas, ir nepieciešams un pietiekami, lai nosacījums
.
Tādējādi vienādojumā (1.3) visas saknes būs reālas tad un tikai tad, ja:
Izmantojot Sturm sistēmu, var atdalīt algebriskā vienādojuma saknes, sadalot intervālu (a,b), kas satur visas vienādojuma reālās saknes, ierobežotā skaitā daļējo intervālu.
tāds, ka 
.
1.3. Lobačevska-Grefa metode algebrisko vienādojumu aptuvenai atrisināšanai
1.3.1 Metodes ideja
Aplūkosim algebrisko vienādojumu (1.3).Izliksimies tā
, (1.15)
tie. saknēm ir atšķirīgs modulis, un katras iepriekšējās saknes modulis ir daudz lielāks nekā nākamās saknes modulis. Citiem vārdiem sakot, pieņemsim, ka jebkuru divu blakus esošo sakņu attiecība, skaitot to skaitļu dilstošā secībā, ir vērtība, kas absolūtā vērtībā ir maza:
, (1.16)
kur 
un 
- maza vērtība. Šādas saknes sauc par atdalītām.
(1.17)
kur 
, 
,…, 
ir vērtības, kas ir mazas modulī, salīdzinot ar vienotību. Sistēmā (1.17) neņemt vērā daudzumus 
, mums būs aptuvenas attiecības 
(1.18)
Kur mēs atrodam saknes? 
(1.19)
Sakņu precizitāte vienādību sistēmā (1.20) ir atkarīga no tā, cik mazas ir absolūtās vērtības 
attiecībās (1.16)
Lai panāktu sakņu atdalīšanu, pamatojoties uz (1.3) vienādojumu, tie sastāda pārveidoto vienādojumu
, (1.20)
kuru saknes
, 
,…, 
ir sakņu m-e pilnvaras 
, 
,…, 
vienādojumi (1.3). Ja visas vienādojuma (1.3) saknes ir dažādas un to moduļi atbilst nosacījumam (1.17), tad pietiekami lielam m tiks atdalītas (1.20) vienādojuma saknes , ,…, jo
plkst 
.
Acīmredzot pietiek ar algoritma konstruēšanu, lai atrastu vienādojumu, kura saknes ir dotā vienādojuma sakņu kvadrāti. Tad būs iespējams iegūt vienādojumu, kura saknes līdz pakāpei būs vienādas ar sākotnējā vienādojuma saknēm
.
1.3.2. Sakņu sadalīšana kvadrātā
Mēs rakstām polinomu (1.3) šādā formāUn reiziniet to ar formas polinomu
Tad saņemam
Veicot aizstāšanu
un reizinot ar 
, būs . (1.21)
Polinoma (1.21) saknes ir saistītas ar polinoma (1.3) saknēm ar šādu attiecību
.
Tāpēc mūs interesējošais vienādojums ir
,
kuru koeficientus aprēķina pēc formulas (1.22)
, (1.22)
kur tiek pieņemts, ka
plkst 
.
Secīgi izmantojot k reizes sakņu kvadrātošanas procesu polinomam (1.3) , iegūstam polinomu
, (1.23)
kurā
, 
utt. Pie pietiekami liela k var panākt, ka vienādojuma (1.23) saknēm sistēma
(1.24)
Noteiksim skaitli k, kuram sistēma (1.24) ir apmierināta ar doto precizitāti.
Pieņemsim, ka vēlamais k jau ir sasniegts un vienādības (1.24) ir apmierinātas ar pieņemto precizitāti. Veiksim vēl vienu transformāciju un atrodam polinomu
,
kurai attiecas arī sistēma (1.24).
.
Tā kā, pamatojoties uz formulu (1.22.),
, (1.25)
tad, aizvietojot (1.25) sistēmā (1.24), iegūstam, ka koeficientu absolūtās vērtības
jābūt ar pieņemto precizitāti, kas vienāda ar koeficientu kvadrātiem 
. Šo vienādību izpilde norādīs, ka k. solī jau ir sasniegta vajadzīgā k vērtība. Tādējādi vienādojuma (1.3) sakņu kvadrātošana jāpārtrauc, ja pieņemtajā precizitātē formulas (1.24) labajā pusē ir saglabāti tikai koeficientu kvadrāti, un dubultotā reizinājumu summa izrādās zemāka. precizitātes robeža.
Tad vienādojuma reālās saknes tiek atdalītas un to moduļi tiek atrasti pēc formulas
(1.26)
Saknes zīmi var noteikt aptuveni, aizstājot vērtības 
un 
vienādojumā (1.3).
2 PRAKTISKĀ DAĻA
2.1 1. uzdevums
. (2.1)
Pirmkārt, vienādojumā (2.1) nosakām reālo un komplekso sakņu skaitu. Lai to izdarītu, mēs izmantojam Šturma teorēmu.
Sturm sistēmai vienādojumam (2.1) būs šāda forma:
Kur mēs iegūstam
2.1. tabula.
|
Polinoms |
Punkti uz reālās ass |
|
 |
 |
|
 |
+ |
+ |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
|
Zīmju izmaiņu skaits |
1 |
3 |
Tādējādi mēs iegūstam, ka reālo sakņu skaits vienādojumā (2.1) ir vienāds ar
,
tie. vienādojums (2.1) satur 2 reālās un 2 kompleksās saknes.
Lai atrastu vienādojuma saknes, mēs izmantojam Lobačevska–Grefa metodi sarežģītu konjugētu sakņu pārim.
Izlīdzināsim vienādojuma saknes kvadrātā. Koeficienti tika aprēķināti, izmantojot šādu formulu 
, (2.2)
kur 
, (2.3)
a 
uzskata par 0, kad 
.
Aprēķinu rezultāti ar astoņiem zīmīgajiem cipariem parādīti 2.2. tabulā
2.2. tabula.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
 |
|||||
 |
0 |
-3,8000000E+01 |
3,5400000E+02 |
3,8760000E+03 |
0 |
 |
1 |
4,3000000E+01 |
7,1500000E+02 |
4.8370000E+03 |
1.0404000E+04 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,4300000E+03 |
-3,9517400E+05 |
-1,4877720E+07 |
0 |
 |
1 |
4,1900000E+02 |
1.1605100E+05 |
8.5188490E+06 |
1.0824322E+08 |
 |
|||||
 |
0 |
-2,3210200E+05 |
-6,9223090E+09 |
-2,5123467E+13 |
0 |
 |
1 |
-5,6541000E+04 |
6.5455256E+09 |
4,7447321E+13 |
1.1716594E+16 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,3091051E+10 |
5,3888712E+18 |
-1,5338253E+26 |
0 |
 |
1 |
-9,8941665E+09 |
4,8232776E+19 |
2,0978658E+27 |
1,3727857E+32 |
 |
|||||
 |
0 |
-9,6465552E+19 |
4.1513541E+37 |
-1,3242653E+52 |
0 |
 |
1 |
1,4289776E+18 |
2,3679142E+39 |
4.3877982E+54 |
1.8845406E+64 |
 |
|||||
 |
0 |
-4,7358285E+39 |
-1,2540130E+73 |
-8.9248610+103 |
0 |
 |
1 |
-4,7337865E+39 |
5,6070053E+78 |
1.9252683+109 |
3.5514932+128 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,1214011E+79 |
1.8227619+149 |
-3.9826483+207 |
0 |
 |
1 |
1.1194724E+79 |
3.1438509+157 |
3.7066582+218 |
1.2613104+257 |
Kā redzams 2.2. tabulā, 7. solī saknes 
, 
(skaitot moduļu dilstošā secībā) var uzskatīt par atdalītu. Sakņu moduļus atrod pēc formulas (1.27) un pēc aptuvenas aplēses nosaka to zīmi:
Tā kā konvertētais koeficients plkst 
maina zīmi, tad šim vienādojumam ir sarežģītas saknes, kuras nosaka no vienādojuma (1.31), izmantojot formulas (1.29) un (1.30):
i.
2.2 2. uzdevums
Izmantojot Lobačevska-Grefa metodi, atrisiniet vienādojumu:. (2.4)
Sākumā, izmantojot Šturma teorēmu, mēs nosakām reālo un komplekso sakņu skaitu vienādojumā (2.2).
Šim vienādojumam Sturm sistēmai ir forma
Kur mēs iegūstam
2.3. tabula.
|
Polinoms |
Punkti uz reālās ass |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
– |
– |
|
Zīmju izmaiņu skaits |
3 |
1 |
Tādējādi mēs iegūstam, ka reālo sakņu skaits vienādojumā (2.2) ir vienāds ar
,
tie. vienādojums (2.2) satur 2 reālās un 2 kompleksās saknes.
Lai aptuvenu atrastu vienādojuma saknes, mēs izmantojam Lobačevska–Grefa metodi sarežģītu konjugētu sakņu pārim.
Izlīdzināsim vienādojuma saknes kvadrātā. Koeficientus aprēķināsim, izmantojot formulas (2.2) un (2.3) .
Aprēķinu rezultāti ar astoņiem zīmīgajiem cipariem parādīti 2.4. tabulā
2.4. tabula.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
0 |
-9,2000000E+00 |
-3,3300000E+01 |
1,3800000E+02 |
0 |
.
un 
vienādojumā (2.4), kas rada dažādu secību kļūdas (attiecīgi 4.52958089E–11 un 4.22229789E-06) vienādam iterāciju skaitam.Skaitļus var sadalīt kopās šādā jaudas palielināšanas secībā -
1. Kopa - pirmskaitļu kopa (nav pirmskaitļu dalītāju, izņemot sevi pašu).
2. Kopa - naturālu skaitļu kopa.
3. Set - veselu skaitļu kopa (tie ir naturāli, nulles un negatīvi veseli skaitļi).
4. Kopa ir racionālu skaitļu kopa (tie ir veseli skaitļi jeb skaitļi, kurus var attēlot kā daļskaitli, kuru skaitītājā un saucējā ir veseli skaitļi. Racionālo skaitļu decimālais apzīmējums ir vai nu galīgs, vai arī to var attēlot kā frakcija, kurā noteikti periodiski atkārtojas).
5. Kopa ir reālu skaitļu apakškopa, ko var attēlot kā radikāļus reālo skaitļu laukā. Tas ietver visus racionālos (Q), kā arī dažus neracionālos, piemēram, 
. Precīzāk, šajā kopā ir skaitļi, kurus var attēlot kā apzīmējumu ar eksponenci, kur eksponents būs racionāls skaitlis, un jebkurš skaitlis, kas tiek paaugstināts līdz pakāpei, ir racionāls pozitīvs.
6. Kopa ir reālu skaitļu apakškopa, ko var attēlot kā radikāļus virs lauka kompleksie skaitļi. Tas ietver visus racionālos (Q), kā arī dažus iracionālos, piemēram, , kas beigās izrādās reāls. Precīzāk, šajā kopā ir skaitļi, kurus var attēlot kā rekordu ar kāpinājumu, kur pakāpē būs racionāls skaitlis, un skaitlis, kas tiek pacelts pakāpē, ir racionāls un var būt negatīvs.
Atšķirība starp kopu 6 un kopu 5. Piemēram, vienādojuma saknes,
, ir vienādi ar .
Tomēr ir zināms, ka kubiskie vienādojumi šķīst radikāļos. Tas nozīmē, ka vienas un tās pašas saknes var attēlot kā ierakstu ar skaitļiem, matemātiskām darbībām un grādiem.
Jautājums. Man ir pieņēmums, ka šī ieraksta daļas būs kompleksi skaitļi, t.i. tur nevar iztikt. Noteikti būs saknes no negatīviem skaitļiem. Vai pieņēmums ir pareizs?
Ja pieņēmums ir patiess, tad vienmēr reālās kubisko vienādojumu saknes - pieder kopai , bet var arī nepiederēt kopai . Bet kvadrātvienādojuma saknes vienmēr pieder mazjaudas kopai.
Jautājums. Vai argumenta sinuss (grādos), kas attēlots kā racionāls skaitlis, vienmēr pieder kopai (vai pat ), t.i. vai to vienmēr var izteikt radikāļos?
Bet pāriesim pie vēl jaudīgākas skaitļu kopas. 5. pakāpes vienādojuma īstās saknes kopumā ne vienmēr var izteikt radikāļos, t.i. tie var pat nav iekļauti, bet ir tāds komplekts, kur tie ir iekļauti -
7. Kopa - algebrisko skaitļu kopa, (reālo skaitļu apakškopa). Šajā komplektā ir iekļautas visas iespējamās visu iespējamo algebrisko vienādojumu reālās saknes jebkurā pakāpē un ar jebkuriem racionālajiem koeficientiem.
Kuras ir jaudīgākas kopas, nekā tiek uzskatītas matemātikā (neskaitot platākās kopas - reālās un sarežģītās)? Varenākus neesmu sastapis, parasti, ja cipars nav iekļauts, tad vienkārši sauc par pārpasaulīgo. Un es iepazīstinātu ar citu komplektu -
8. Kopa - skaitļu kopa, kas var būt jebkura matemātiska vienādojuma sakne (ne vienmēr algebriska), ar jebkādām zināmām funkcijām (piemēram, sinusu, zeta funkciju, integrāļa logaritmu u.c.), ko var sadalīt kā sēriju vai vairākas rindas. Mēs šādus numurus saucam par ANALĪTISKO. Vienkārši sakot, jūs varat iestatīt galīgo izmēru aprakstu tā, lai saskaņā ar šo aprakstu jūs varētu atrast jebkuru ciparu aiz dotā skaitļa decimāldaļas līdz bezgalībai.
Līdz šim visas aplūkotās kopas ir bijušas apakškopas no sekojošām, t.i. apakškopa utt. - apakškopa . Nākamais komplekts ir atsevišķs (nav iekļauts), bet visspēcīgākais.
9. Kopa - haotisku skaitļu kopa. (haotiska ir mana definīcija). Šī ir visu reālo skaitļu kopa, kas nav iekļauta . Ja skaitlis ir iekļauts , tad šo skaitli nav iespējams attēlot ar galīgu izmēru matemātiskiem aprakstiem (nav svarīgi - pēc sērijām, vai funkcijām utt.), t.i. ja uzstādīsim galīgo izmēru aprakstu, tad no šī apraksta nevarēsim atrast nevienu ciparu aiz dotā skaitļa decimāldaļas - līdz bezgalībai.
10. Kopa - VISU reālo skaitļu kopa. Šī ir nesavienoto kopu un . Turklāt kopai komplektā ir nulle. Tie. reālo skaitļu kopā - lielākā daļa skaitļu ir haotiski, un mazākums ir analītiski.
11. Kopa - visu komplekso skaitļu kopa. Bija iespējams to sadalīt līdzīgās apakškopās (algebriskais komplekss, analītiskais, haotiskais utt.), bet es jau domāju, ka tas nav nepieciešams.
Vai mana klasifikācija ir pareiza? Kādas citas kopas ir matemātiķiem, kas ir pārpasaulīgo skaitļu apakškopas, bet nav algebriski skaitļi?
Kvadrātvienādojuma sakņu formulas. Tiek aplūkoti reālu, daudzkārtēju un sarežģītu sakņu gadījumi. Kvadrātveida trinoma faktorizācija. Ģeometriskā interpretācija. Sakņu noteikšanas un faktorizācijas piemēri.
SatursSkatīt arī: Kvadrātvienādojumu risināšana tiešsaistē
Pamatformulas
Apsveriet kvadrātvienādojumu:
(1)
.
Kvadrātvienādojuma saknes(1) nosaka pēc formulām:
;
.
Šīs formulas var apvienot šādi:
.
Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes, tad otrās pakāpes polinomu var attēlot kā faktoru reizinājumu (faktorizētu):
.
Turklāt mēs pieņemam, ka tie ir reāli skaitļi.
Apsveriet kvadrātvienādojuma diskriminants:
.
Ja diskriminants ir pozitīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas dažādas reālās saknes:
;
.
Tad kvadrātveida trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja diskriminants ir nulle, tad kvadrātvienādojumam (1) ir divas vairākas (vienādas) reālās saknes:
.
Faktorizācija:
.
Ja diskriminants ir negatīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas sarežģītas konjugāta saknes:
;
.
Šeit ir iedomātā vienība, ;
un ir sakņu reālās un iedomātās daļas:
;
.
Tad
.
Grafiskā interpretācija
Ja iezīmējam funkciju grafiku
,
kas ir parabola, tad grafika krustošanās punkti ar asi būs vienādojuma saknes
.
Kad , grafiks šķērso abscisu asi (asi) divos punktos ().
Kad , grafiks pieskaras x asij vienā punktā ().
Kad , grafiks nešķērso x asi ().
Noderīgas formulas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumu
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana
Veicam transformācijas un pielietojam formulas (f.1) un (f.3):
,
kur
;
.
Tātad otrās pakāpes polinoma formulu ieguvām šādā formā:
.
No tā var redzēt, ka vienādojums
veikta plkst
un .
Tas ir, un ir kvadrātvienādojuma saknes
.
Kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanas piemēri
1. piemērs
(1.1)
.
.
Salīdzinot ar mūsu vienādojumu (1.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:
;
;
.
No šejienes mēs iegūstam kvadrātveida trinoma sadalījumu faktoros:
.
Funkcijas y = grafiks 2 x 2 + 7 x + 3šķērso x asi divos punktos.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas šķērso x asi (asi) divos punktos:
un .
Šie punkti ir sākotnējā vienādojuma (1.1) saknes.
;
;
.
2. piemērs
Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(2.1)
.
Kvadrātvienādojumu rakstām vispārīgā formā:
.
Salīdzinot ar sākotnējo vienādojumu (2.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojumam ir divas vairākas (vienādas) saknes:
;
.
Tad trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Funkcijas y = x grafiks 2 - 4 x + 4 pieskaras x asij vienā punktā.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas pieskaras x asij (asij) vienā punktā:
.
Šis punkts ir sākotnējā vienādojuma (2.1) sakne. Tā kā šī sakne tiek aprēķināta divreiz:
,
tad šādu sakni sauc par daudzkārtni. Tas ir, viņi uzskata, ka ir divas vienādas saknes:
.
;
.
3. piemērs
Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(3.1)
.
Kvadrātvienādojumu rakstām vispārīgā formā:
(1)
.
Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu (3.1):
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Diskriminants ir negatīvs, . Tāpēc īstu sakņu nav.
Jūs varat atrast sarežģītas saknes:
;
;
.
Tad
.
Funkcijas grafiks nešķērso x asi. Īstu sakņu nav.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas nešķērso abscisu (asi). Tāpēc īstu sakņu nav.
Īstu sakņu nav. Sarežģītas saknes:
;
;
.
Piemēri (algebriskā vienādojuma sakņu skaits)
1) x 2 – 4x+ 5 = 0 - otrās pakāpes algebriskais vienādojums (kvadrātvienādojums) 
2 
= 2 i- divas saknes;
2) x 3 + 1 = 0 - trešās pakāpes algebriskais vienādojums (divterminu vienādojums) 
;
3) P 3 (x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 – trešās pakāpes algebriskais vienādojums;
numuru x 1 = 1 ir tā sakne, jo P 3 (1) 
0, tātad pēc Bezout teorēmas 
; sadalām polinomu P 3 (x) pārvērš binomā ( x- 1) "kolonnā":
|
|
sākotnējais vienādojums P 3 (x) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 (x – 1)(x 2 + 2x + 1) = 0 (x – 1)(x + 1) 2 = 0 x 1 = 1 - vienkārša sakne, x 2 \u003d -1 - dubultsakne. |
|
Rekvizīts 2 (par algebriskā vienādojuma ar reāliem koeficientiem sarežģītām saknēm) |
|
Ja algebriskajam vienādojumam ar reāliem koeficientiem ir sarežģītas saknes, tad šīs saknes vienmēr ir sapāroti kompleksi konjugāti, tas ir, ja skaitlis |
ir vienādojuma sakne
, tad numurs 
ir arī šī vienādojuma sakne. Lai to pierādītu, ir jāizmanto sarežģītās konjugācijas darbības definīcija un šādas viegli pārbaudāmas īpašības:
ja 
, tad 
un vienādības ir spēkā:
,
,
,
,
ja 
tad ir reāls skaitlis 
.
Kā 
ir vienādojuma sakne 
, tad 
Kur 
-- reālie skaitļi plkst 
.
Mēs ņemam konjugāciju no abām pēdējās vienādības daļām un izmantojam uzskaitītās konjugācijas darbības īpašības:
, tas ir skaitlis 
apmierina arī vienādojumu 
, tāpēc ir tā sakne
Piemēri (algebrisko vienādojumu ar reāliem koeficientiem sarežģītas saknes)
Kā rezultāts pierādītajai īpašībai par algebriskā vienādojuma komplekso sakņu savienošanu pārī ar reāliem koeficientiem tiek iegūta vēl viena polinomu īpašība.
Mēs turpināsim no polinoma dekompozīcijas (6). 
lineārajiem reizinātājiem:
Ļaujiet skaitlim x 0
= a
+ bi ir polinoma kompleksā sakne P n (x), tas ir, tas ir viens no skaitļiem 
. Ja visi šī polinoma koeficienti ir reāli skaitļi, tad skaitlis 
ir arī tā sakne, tas ir, starp skaitļiem 
ir arī numurs 
.
Mēs aprēķinām binomiālu reizinājumu 
:
Rezultāts ir kvadrātveida trinomāls ar reālām izredzēm.
Tādējādi jebkurš binomiālu pāris ar sarežģītām konjugētām saknēm formulā (6) noved pie kvadrātveida trinoma ar reāliem koeficientiem.
Piemēri (polinoma faktorēšana ar reāliem koeficientiem)
1)P 3 (x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);
2)P 4 (x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x(x –1)(x 2 + 4).
|
Rekvizīts 3 (par algebriskā vienādojuma veseliem skaitļiem un racionālām saknēm ar reāliem veselu skaitļu koeficientiem) |
|
Dots algebriskais vienādojums
 |
, visi koeficienti 
kas ir reāli veseli skaitļi,1. Ļaujiet veselam skaitlim 
ir vienādojuma sakne
Kopš vesela skaitļa 
attēlots ar vesela skaitļa reizinājumu 
un izteiksme, kurai ir vesela skaitļa vērtība.
2. Pieņemsim algebrisko vienādojumu 
ir racionāla sakne
, turklāt skaitļi lpp
un q ir koprime 
.
Šo identitāti var uzrakstīt divos veidos:
No pirmā apzīmējuma izriet, ka 
, un no otrā - tas 
, jo skaitļi lpp
un q ir koprime.
Piemēri (algebriskā vienādojuma veselu skaitļu vai racionālu sakņu izvēle ar veselu skaitļu koeficientiem)
