Risinot dažādas lietišķas problēmas, nereti ir nepieciešams pētīt kvadrātiskās formas.
Definīcija. Kvadrātiskā forma L(, x 2, ..., x n) no n mainīgajiem ir summa, kuras katrs loceklis ir vai nu viena mainīgā lieluma kvadrāts, vai divu dažādu mainīgo reizinājums, kas ņemts ar noteiktu koeficientu:
L( ,x 2,...,x n) =
Mēs pieņemam, ka kvadrātiskās formas koeficienti ir reāli skaitļi, un
Matricu A = () (i, j = 1, 2, ..., n), kas sastāv no šiem koeficientiem, sauc par kvadrātiskās formas matricu.
Matricas apzīmējumā kvadrātveida formai ir šāda forma: L = X"AX, kur X = (x 1, x 2,..., x n)" - matrica-mainīgo kolonna.
Piemērs 8.1
Uzrakstiet kvadrātisko formu L( , x 2 , x 3) = matricas formā.
Atradīsim kvadrātiskās formas matricu. Tās diagonālie elementi ir vienādi ar kvadrātu mainīgo koeficientiem, t.i. 4, 1, -3 un citi elementi - uz kvadrātveida formas atbilstošo koeficientu pusēm. Tāpēc
L=( , x 2 , x 3) 
.
Ar nedeģenerētu lineāru transformāciju X = CY kvadrātiskās formas matrica iegūst šādu formu: A * = C "AC. (*)
Piemērs 8.2
Dota kvadrātiskā forma L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3. Atrodiet kvadrātisko formu L(y 1 ,y 2), kas iegūta no dotās lineārās transformācijas = 2у 1 - 3y 2, x 2 = y 1 + y 2.
Dotās kvadrātiskās formas matrica ir A= , bet lineārās transformācijas matrica ir
C = . Tāpēc saskaņā ar (*) vajadzīgās kvadrātiskās formas matrica
Un kvadrātiskā forma izskatās
L(y 1, y 2) =
.
Jāatzīmē, ka ar dažām labi izvēlētām lineārām transformācijām kvadrātiskās formas formu var ievērojami vienkāršot.
Definīcija. Kvadrātisko formu L( ,x 2 ,...,x n) = sauc par kanonisku (vai tai ir kanoniska forma), ja visi tās koeficienti = 0 i¹j:
L= 
, un tā matrica ir pa diagonāli.
Sekojošā teorēma ir patiesa.
Teorēma. Jebkuru kvadrātisko formu var reducēt uz kanonisku formu, izmantojot mainīgo lielumu nedeģenerētu lineāru transformāciju.
Piemērs 8.3
Samaziniet kvadrātisko formu līdz kanoniskajai formai
L( , x 2 , x 3) =
Pirmkārt, mēs izvēlamies mainīgā lieluma pilnu kvadrātu, kura kvadrāta koeficients atšķiras no nulles:
Tagad mēs izvēlamies ideālo kvadrātu mainīgajam, kura koeficients atšķiras no nulles:
Tātad, nedeģenerēta lineāra transformācija
samazina šo kvadrātisko formu līdz kanoniskajai formai: 
Kvadrātiskās formas kanoniskā forma nav unikāli definēta, jo to pašu kvadrātisko formu daudzos veidos var reducēt uz kanonisko formu. Tomēr kanoniskajām formām, kas iegūtas ar dažādām metodēm, ir vairākas kopīgas īpašības. Formulēsim vienu no šīm īpašībām kā teorēmu.
Teorēma (kvadrātformu inerces likums). Kvadrātiskās formas pozitīvo (negatīvo) koeficientu terminu skaits nav atkarīgs no formas redukcijas metodes līdz šai formai.
Jāņem vērā, ka kvadrātiskās formas matricas rangs ir vienāds ar kanoniskās formas nulles koeficientu skaitu un nemainās lineāro transformāciju gadījumā.
Definīcija. Kvadrātisko formu L(, x 2, ..., x n) sauc par pozitīvu (negatīvu) noteiktu, ja visām mainīgo vērtībām, no kurām vismaz viena nav nulle,
L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).
Tātad, Piemēram, kvadrātveida forma 
ir pozitīvs noteikts, un forma ir negatīva noteikta.
Teorēma. Lai kvadrātiskā forma L = X"AX būtu pozitīva (negatīva) noteikta, ir nepieciešams un pietiekami, lai visas matricas A īpašvērtības būtu pozitīvas (negatīvas).
Kvadrātiskā forma n mainīgo f(x 1, x 2,...,x n) ir summa, kuras katrs loceklis ir vai nu viena mainīgā lieluma kvadrāts, vai divu dažādu mainīgo reizinājums, kas ņemts ar noteiktu koeficientu: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij =a ji).
Matricu A, kas sastāv no šiem koeficientiem, sauc par kvadrātiskās formas matricu. Tā ir vienmēr simetrisks matrica (t.i., matrica, kas ir simetriska pret galveno diagonāli, a ij =a ji).
Matricas pierakstā kvadrātveida forma ir f(X) = X T AX, kur
Patiešām
Piemēram, rakstīsim kvadrātveida formu matricas formā.
Lai to izdarītu, mēs atrodam kvadrātveida formas matricu. Tās diagonālie elementi ir vienādi ar kvadrātveida mainīgo koeficientiem, bet pārējie elementi ir vienādi ar kvadrātveida formas atbilstošo koeficientu pusēm. Tāpēc
Mainīgo X matricas kolonnu iegūstam ar nedeģenerētu matricas kolonnas Y lineāru transformāciju, t.i. X = CY, kur C ir n-tās kārtas nevienskaitļa matrica. Tad kvadrātveida forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.
Tādējādi ar nedeģenerētu lineāru transformāciju C kvadrātiskās formas matrica iegūst šādu formu: A * =C T AC.
Piemēram, atradīsim kvadrātformu f(y 1, y 2), kas iegūta no kvadrātiskās formas f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ar lineāru transformāciju.
Kvadrātiskā forma tiek saukta kanonisks(Tā ir kanoniskais skatījums), ja visi tā koeficienti a ij = 0, ja i≠j, t.i., f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .
Tās matrica ir pa diagonāli.
Teorēma(pierādījums šeit nav sniegts). Jebkuru kvadrātisko formu var reducēt uz kanonisku formu, izmantojot nedeģenerētu lineāro transformāciju.
Piemēram, izveidosim kanoniskā formā kvadrātisko formu f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.
Lai to izdarītu, vispirms atlasiet pilnu kvadrātu ar mainīgo x 1:
f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 – x 2 x 3.
Tagad mēs izvēlamies pilnu kvadrātu ar mainīgo x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2–5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.
Tad nedeģenerētā lineārā transformācija y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 un y 3 = x 3 nodrošina šo kvadrātisko formu kanoniskajā formāf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .
Ņemiet vērā, ka kvadrātveida formas kanoniskā forma tiek noteikta neviennozīmīgi (to pašu kvadrātisko formu var reducēt līdz kanoniskajai formai dažādos veidos 1). Tomēr kanoniskajām formām, kas iegūtas ar dažādām metodēm, ir vairākas kopīgas īpašības. Konkrēti, kvadrātveida formas pozitīvo (negatīvo) koeficientu terminu skaits nav atkarīgs no formas reducēšanas metodes līdz šai formai (piemēram, aplūkotajā piemērā vienmēr būs divi negatīvi un viens pozitīvs koeficients). Šo īpašumu sauc kvadrātisko formu inerces likums.
Pārbaudīsim to, apvienojot to pašu kvadrātisko formu kanoniskajā formā citā veidā. Sāksim transformāciju ar mainīgo x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3 (x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, kur y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 un y 3 = x 1 . Šeit ir pozitīvs koeficients 2 y 3 un divi negatīvi koeficienti (-3) y 1 un y 2 (un, izmantojot citu metodi, mēs ieguvām pozitīvu koeficientu 2 y 1 un divus negatīvus - (-5) y 2 un (-1/20) y 3).
Jāņem vērā arī tas, ka kvadrātiskās formas matricas rangs, saukts kvadrātveida formas rangs, ir vienāds ar kanoniskās formas nulles koeficientu skaitu un nemainās lineāro transformāciju gadījumā.
Tiek izsaukta kvadrātiskā forma f(X). pozitīvi(negatīvs)noteikti, ja visām mainīgo vērtībām, kas vienlaikus nav vienādas ar nulli, tas ir pozitīvs, t.i., f(X) > 0 (negatīvs, t.i., f(X)< 0).
Piemēram, kvadrātiskā forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ir pozitīva noteikta, jo ir kvadrātu summa, un kvadrātiskā forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ir negatīva noteikta, jo attēlo to var attēlot formāf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.
Lielākajā daļā praktisko situāciju ir nedaudz grūtāk noteikt kvadrātiskās formas noteiktu zīmi, tāpēc mēs izmantojam vienu no tālāk norādītajām teorēmām (mēs tās formulēsim bez pierādījumiem).
Teorēma. Kvadrātiskā forma ir pozitīva (negatīva) noteikta tad un tikai tad, ja visas tās matricas īpašvērtības ir pozitīvas (negatīvas).
Teorēma (Silvestera kritērijs). Kvadrātiskā forma ir pozitīva, noteikta tad un tikai tad, ja visi šīs formas matricas vadošie minori ir pozitīvi.
Galvenā (stūra) minora An-tās kārtas k-tās kārtas matricas sauc par matricas determinantu, kas sastāv no matricas A () pirmajām k rindām un kolonnām.
Ņemiet vērā, ka negatīvām noteiktām kvadrātiskām formām galveno minoritāšu zīmes mijas, un pirmās kārtas minorām jābūt negatīvām.
Piemēram, apskatīsim kvadrātisko formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2, lai noteiktu zīmes noteiktību.
= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 - 8 = 17; 
. Tāpēc kvadrātiskā forma ir pozitīva noteikta.
2. metode. Matricas pirmās kārtas galvenais minors A 1 =a 11 = 2 > 0. Otrās kārtas galvenais minors 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Tāpēc saskaņā ar Silvestra kritēriju kvadrātiskais forma ir pozitīva noteikta.
Apskatīsim citu kvadrātisko formu zīmes noteiktībai, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
1. metode. Konstruēsim matricu ar kvadrātveida formu A = . Raksturīgajam vienādojumam būs forma 
= (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25-8 = 17 ; 
. Tāpēc kvadrātiskā forma ir negatīva noteikta.
2. metode. Matricas pirmās kārtas galvenais minors A 1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Tāpēc pēc Silvestra kritērija kvadrātveida forma ir negatīva noteikta (lielo minoru zīmes mijas, sākot ar mīnusu).
Un kā citu piemēru mēs pārbaudām zīmju noteikto kvadrātisko formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
1. metode. Konstruēsim matricu ar kvadrātveida formu A = . Raksturīgajam vienādojumam būs forma 
= (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; 
. Viens no šiem skaitļiem ir negatīvs, bet otrs ir pozitīvs. Īpašo vērtību zīmes ir atšķirīgas. Līdz ar to kvadrātveida forma nevar būt ne negatīvi, ne pozitīvi noteikta, t.i. šī kvadrātiskā forma nav noteikta ar zīmi (tai var būt jebkuras zīmes vērtības).
2. metode. Matricas A pirmās kārtas galvenais minors 1 =a 11 = 2 > 0. Otrās kārtas galvenais minors 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).
1Aplūkotā metode kvadrātiskās formas reducēšanai uz kanonisku formu ir ērti lietojama, ja ar mainīgo kvadrātiem ir sastopami koeficienti, kas nav nulle. Ja to nav, joprojām ir iespējams veikt konvertēšanu, bet jums ir jāizmanto daži citi paņēmieni. Piemēram, pieņemsim, ka f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =
= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ; f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* * (x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 – x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, kur y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.
Pakalpojuma mērķis. Tiešsaistes kalkulators, ko izmanto, lai atrastu Hesenes matricas un funkcijas veida noteikšana (izliekta vai ieliekta) (sk. piemēru). Risinājums ir sastādīts Word formātā. Viena mainīgā f(x) funkcijai tiek noteikti izliekuma un ieliekuma intervāli.Noteikumi funkciju ievadīšanai:
Divreiz nepārtraukti diferencējama funkcija f(x) ir izliekta (ieliekta) tad un tikai tad Hesenes matrica funkcija f(x) attiecībā pret x ir pozitīva (negatīva) pusnoteikta visiem x (sk. vairāku mainīgo funkcijas lokālo ekstrēmu punktus).
Funkciju kritiskie punkti:
- ja Hess ir pozitīvs noteikts, tad x 0 ir funkcijas f(x) lokālais minimālais punkts,
- ja Hess ir negatīvs noteiktais, tad x 0 ir funkcijas f(x) lokālais maksimālais punkts,
- ja Hess nav noteikta zīme (ņem gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības) un nav deģenerēts (det G(f) ≠ 0), tad x 0 ir funkcijas f(x) seglu punkts.
Matricas noteiktības kritēriji (Silvestra teorēma)
Pozitīva pārliecība:- visiem matricas diagonālajiem elementiem jābūt pozitīviem;
- visiem vadošajiem galvenajiem kvalifikācijas rādītājiem jābūt pozitīviem.
Pozitīva pusnoteiktība:
- visi diagonālie elementi nav negatīvi;
- visi galvenie noteicošie faktori nav negatīvi.
Kvadrātveida simetriskā matrica ar n kārtu, kuras elementi ir otrās kārtas mērķa funkcijas parciālie atvasinājumi, sauc par Hesenes matricu un ir apzīmēts:
Lai simetriskā matrica būtu pozitīva noteikta, ir nepieciešams un pietiekami, lai visi tās diagonālie minori būtu pozitīvi, t.i. 
matricai A = (a ij) ir pozitīvi.
Negatīvā noteiktība.
Lai simetriskā matrica būtu negatīvi noteikta, ir nepieciešams un pietiekami, lai notiktu šādas nevienādības:
(-1) k D k > 0, k=1,..., n.
Citiem vārdiem sakot, lai būtu kvadrātiskā forma negatīvs noteikts, nepieciešams un pietiekami, lai kvadrātiskās formas matricas leņķisko minoru zīmes mijas, sākot ar mīnusa zīmi. Piemēram, diviem mainīgajiem lielumiem D 1< 0, D 2 > 0.
Ja hesiešu valoda ir daļēji noteikta, tad tas var būt arī lēciena punkts. Nepieciešama papildu izpēte, ko var veikt, izmantojot kādu no šīm iespējām:
- Samazinoša secība. Tiek veikta mainīgo lielumu maiņa. Piemēram, divu mainīgo funkcijai tas ir y=x, kā rezultātā mēs iegūstam viena mainīgā x funkciju. Tālāk mēs pārbaudām funkcijas uzvedību līnijās y=x un y=-x. Ja pirmajā gadījumā funkcijai pētāmajā punktā būs minimums, bet otrā gadījumā maksimums (vai otrādi), tad pētāmais punkts ir seglu punkts.
- Hesenes īpašvērtību atrašana. Ja visas vērtības ir pozitīvas, funkcijai pētāmajā punktā ir minimums, ja visas vērtības ir negatīvas, ir maksimums.
- Funkcijas f(x) izpēte punkta ε tuvumā. Mainīgos x aizstāj ar x 0 +ε. Tālāk ir jāpierāda, ka viena mainīgā ε funkcija f(x 0 +ε) ir vai nu lielāka par nulli (tad x 0 ir minimālais punkts), vai mazāka par nulli (tad x 0 ir maksimālais punkts).
Piezīme. Atrast apgrieztā hesiešu valoda pietiek atrast apgriezto matricu.
Piemērs Nr.1. Kuras no šīm funkcijām ir izliektas vai ieliektas: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Risinājums. 1. Atradīsim daļējos atvasinājumus. 
2. Atrisināsim vienādojumu sistēmu.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x1 -6x2 +6 = 0
Mēs iegūstam:
a) No pirmā vienādojuma izsakām x 1 un aizstājam to ar otro vienādojumu:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Kur x 2 = 4
Mēs aizstājam šīs vērtības x 2 izteiksmē x 1. Mēs iegūstam: x 1 = 9/2
Kritisko punktu skaits ir 1.
M 1 (9/2;4)
3. Atradīsim otrās kārtas parciālos atvasinājumus.
4. Aprēķināsim šo otrās kārtas parciālo atvasinājumu vērtību kritiskajos punktos M(x 0 ;y 0).
Mēs aprēķinām vērtības punktam M 1 (9 / 2 ;4) 
Mēs veidojam Hesenes matricu:
D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Tā kā diagonālajām nepilngadīgajām zīmēm ir dažādas zīmes, neko nevar teikt par funkcijas izliekumu vai ieliekumu.
Kvadrātiskā L forma no n Mainīgie ir summa, kuras katrs vārds ir vai nu viena no šiem mainīgajiem kvadrāts, vai divu dažādu mainīgo reizinājums.
Pieņemot, ka kvadrātiskā formā L Līdzīgu terminu samazināšana jau ir veikta, šīs formas koeficientiem ieviesīsim šādu apzīmējumu: koeficientu for apzīmē ar , bet koeficientu reizinājumā apzīmē ar . Tā kā šī reizinājuma koeficientu varētu apzīmēt arī ar , t.i. Mūsu ieviestais apzīmējums pieņem vienādības derīgumu. Terminu tagad var rakstīt formā
un visa kvadrātiskā forma L– visu iespējamo terminu summas veidā, kur i Un j jau pieņem vērtības neatkarīgi viens no otra
no 1 līdz n:
(6.13)
Koeficientus var izmantot, lai izveidotu kvadrātveida matricu n kārtībā; tas tiek saukts kvadrātiskās formas L matrica, un tā rangs ir rangsšī kvadrātiskā forma. Ja jo īpaši, , t.i. matrica nav deģenerēta, tad tā ir kvadrātiskā forma L sauca nedeģenerēts. Tā kā , tad matricas A elementi, kas ir simetriski attiecībā pret galveno diagonāli, ir vienādi viens ar otru, t.i. matrica A - simetrisks. Un otrādi, jebkurai simetriskai matricai A n kārtas var norādīt precīzi definētu kvadrātveida formu (6.13). n mainīgie, kuriem ir matricas A elementi ar to koeficientiem.
Kvadrātformu (6.13) var attēlot matricas formā, izmantojot 3.2. sadaļā ieviesto matricas reizināšanu. Ar X apzīmēsim kolonnu, kas sastāv no mainīgajiem
X ir matrica ar n rindām un vienu kolonnu. Transponējot šo matricu, mēs iegūstam matricu 
, kas sastāv no vienas līnijas. Kvadrātformu (6.13) ar matricu tagad var uzrakstīt kā šādu reizinājumu:
Patiešām:
un tiek noteikta formulu (6.13) un (6.14) līdzvērtība.
Pierakstiet to matricas formā.
○ Atradīsim kvadrātiskās formas matricu. Tās diagonālie elementi ir vienādi ar kvadrātu mainīgo koeficientiem, t.i. 4, 1, –3 un citi elementi – kvadrātformas atbilstošo koeficientu pusēm. Tāpēc
. ●
Noskaidrosim, kā mainās kvadrātiskā forma mainīgo lielumu nedeģenerētas lineāras transformācijas apstākļos.
Ņemiet vērā, ka, ja matricas A un B ir tādas, ka to reizinājums ir definēts, tad vienādība ir spēkā:
(6.15)
Patiešām, ja ir definēts reizinājums AB, tad tiks definēts arī reizinājums: matricas kolonnu skaits ir vienāds ar matricas rindu skaitu. Matricas elements, kas stāv tajā i rinda un j kolonnā, matricā AB atrodas j rinda un i kolonna. Tāpēc tas ir vienāds ar atbilstošo elementu produktu summu j-matricas A rinda un i matricas B kolonna, t.i. vienāds ar līnijas atbilstošo elementu reizinājumu summu j matricas kolonna un i matricas rinda. Tas pierāda vienlīdzību (6.15).
Ļaujiet matricas kolonnas mainīgajiem 
Un 
ir saistīti ar lineāro sakarību X = CY, kur C = ( c ij) 
ir kāda nevienskaitļa matrica n-tais pasūtījums. Tad kvadrātveida forma
vai 
, Kur.
Matrica būs simetriska, jo, ņemot vērā vienādību (6.15), kas acīmredzami ir derīga jebkuram skaitam faktoru, un vienādību , kas ir ekvivalenta matricas A simetrijai, mums ir:
Tātad ar nedeģenerētu lineāru transformāciju X=CY kvadrātiskās formas matrica iegūst formu
komentēt. Kvadrātiskās formas rangs nemainās, veicot nedeģenerētu lineāro transformāciju.
Piemērs. Dota kvadrātiskā forma
Atrodiet kvadrātisko formu, kas iegūta no dotās lineārās transformācijas
, .
○ Dotās kvadrātiskās formas matrica 
, un lineārās transformācijas matrica 
. Tāpēc saskaņā ar (6.16) vēlamās kvadrātiskās formas matrica
un kvadrātveida formai ir forma . ●
Ar dažām labi izvēlētām lineārām transformācijām kvadrātiskās formas formu var ievērojami vienkāršot.
Kvadrātiskā forma 
sauca kanonisks(vai ir kanoniskais skatījums), ja visi tā koeficienti pie i≠ j:
,
un tā matrica ir pa diagonāli.
Sekojošā teorēma ir patiesa.
Teorēma 6.1. Jebkuru kvadrātisko formu var reducēt uz kanonisku formu, izmantojot mainīgo lielumu nedeģenerētu lineāru transformāciju.
Piemērs. Samaziniet kvadrātisko formu līdz kanoniskajai formai
○ Pirmkārt, mēs atlasām mainīgā lieluma pilnu kvadrātu, kura kvadrāta koeficients atšķiras no nulles:
.
Tagad atlasīsim tā mainīgā kvadrātu, kura kvadrāta koeficients atšķiras no nulles:
Tātad, nedeģenerēta lineāra transformācija
samazina šo kvadrātisko formu līdz kanoniskajai formai
.●
Kvadrātiskās formas kanoniskā forma nav unikāli definēta, jo to pašu kvadrātisko formu daudzos veidos var reducēt uz kanonisko formu. Tomēr kanoniskajām formām, kas iegūtas ar dažādām metodēm, ir vairākas kopīgas īpašības. Formulēsim vienu no šīm īpašībām kā teorēmu.
Teorēma 6.2.(kvadrātisko formu inerces likums).
Kvadrātiskās formas pozitīvo (negatīvo) koeficientu terminu skaits nav atkarīgs no formas redukcijas metodes līdz šai formai.
Piemēram, kvadrātveida forma
ko 131. lappusē aplūkotajā piemērā ievedām veidlapā
tas bija iespējams, pielietojot nedeģenerētu lineāru transformāciju
vest pie prāta
.
Kā redzat, pozitīvo un negatīvo koeficientu skaits (attiecīgi divi un viens) ir saglabāts.
Ņemiet vērā, ka kvadrātiskās formas rangs ir vienāds ar kanoniskās formas koeficientu skaitu, kas nav nulle.
Kvadrātiskā forma 
tiek saukts par pozitīvu (negatīvu) noteiktu, ja visām mainīgo vērtībām, no kurām vismaz viena nav nulle,
(
).
Ievads………………………………………………………………………………… ........................3
1 Teorētiskā informācija par kvadrātveida formām………………………………4
1.1. Kvadrātformas definīcija………………………………………….…4
1.2. Kvadrātiskās formas reducēšana uz kanonisku formu…………………6
1.3. Inerces likums…………………………………………………………….….11
1.4. Pozitīvās noteiktās formas…………………………………………18
2 Kvadrātformu praktiskā pielietošana ……………………………22
2.1 Tipisku problēmu risināšana………………………………………………………………22
2.2. Patstāvīga risinājuma uzdevumi………………………….…………26
2.3 Pārbaudes uzdevumi…………………………………………………………………27
Secinājums…………………………………………………………………29
Izmantotās literatūras saraksts…………………………………………………………30
IEVADS
Sākotnēji kvadrātisko formu teorija tika izmantota, lai pētītu līknes un virsmas, kas noteiktas ar otrās kārtas vienādojumiem, kas satur divus vai trīs mainīgos. Vēlāk šī teorija atrada citus pielietojumus. Jo īpaši, matemātiski modelējot ekonomiskos procesus, mērķfunkcijās var būt kvadrātveida termini. Daudzi kvadrātisko formu pielietojumi prasīja vispārīgas teorijas konstruēšanu, ja mainīgo lielumu skaits ir vienāds ar jebkuru
, un kvadrātiskās formas koeficienti ne vienmēr ir reāli skaitļi.Kvadrātisko formu teoriju vispirms izstrādāja franču matemātiķis Lagrenžs, kuram šajā teorijā piederēja daudzas idejas; jo īpaši viņš ieviesa svarīgo reducētās formas jēdzienu, ar kuras palīdzību viņš pierādīja klašu skaita galīgumu. dotā diskriminanta binārās kvadrātiskās formas. Tad šo teoriju ievērojami paplašināja Gauss, kurš ieviesa daudz jaunu jēdzienu, uz kuru pamata viņš varēja iegūt pierādījumus sarežģītām un dziļām skaitļu teorijas teorēmām, kas izvairījās no viņa priekšgājējiem šajā jomā.
Darba mērķis ir izpētīt kvadrātformu veidus un veidus, kā kvadrātformas reducēt uz kanonisko formu.
Šajā darbā izvirzīti šādi uzdevumi: atlasīt nepieciešamo literatūru, apsvērt definīcijas, atrisināt vairākas problēmas un sagatavot testus.
1 TEORĒTISKĀ INFORMĀCIJA PAR KVADRĀTISKAJĀM FORMĀM
1.1. KVADRĀTISKĀS FORMAS DEFINĪCIJA
Kvadrātiskā forma
nezināmo ir summa, kuras katrs loceklis ir vai nu viena no šiem nezināmajiem kvadrāts, vai divu dažādu nezināmo reizinājums. Kvadrātiskajai formai ir divas formas: reālā un kompleksā atkarībā no tā, vai tās koeficienti ir reāli vai kompleksi skaitļi.Apzīmējot koeficientu pie
caur , un ražojot
, cauri 
, kvadrātisko formu var attēlot kā: . No koeficientiem
ir iespējams izveidot secības kvadrātveida matricu; to sauc par kvadrātveida formas matricu, un tās rangu sauc par kvadrātformas rangu. Ja jo īpaši , kur , tas ir, matrica ir nedeģenerēta, tad kvadrātisko formu sauc par nedeģenerētu. Jebkurai kārtas simetriskai matricai to var norādīt pilnībā definētā kvadrātiskā formā:
(1.1) - nezināmie, kuriem ir matricas elementi ar to koeficientiem. Tagad apzīmēsim ar
kolonna, kas sastāv no nezināmajiem: . ir matrica ar rindām un vienu kolonnu. Transponējot šo matricu, mēs iegūstam matricu:
, kas sastāv no vienas līnijas. Kvadrātforma (1.1) ar matricu
tagad var rakstīt kā produktu:.1.2. SAMAZINĀŠANA UZ KVADRĀTISKĀ FORMA
UZ KANONISKO SKATU
Pieņemsim, ka kvadrātiskā forma
no nezināmā jau ir reducēts ar nedeģenerētu lineāru transformāciju uz kanonisko formu , kur ir jaunie nezināmie. Daži no koeficientiem var būt nulle. Pierādīsim, ka beznulles koeficientu skaits noteikti ir vienāds ar formas rangu. Šīs kvadrātiskās formas matricai ir diagonāla forma
,
un prasība, lai šai matricai būtu rangs
, ir līdzvērtīgs pieņēmumam, ka tā galvenajā diagonālē ir elementi, kas atšķiras no nulles.Teorēma. Jebkuru kvadrātisko formu var reducēt līdz kanoniskajai formai ar kādu nedeģenerētu lineāru transformāciju. Ja aplūko reālu kvadrātisko formu, tad visus norādītās lineārās transformācijas koeficientus var uzskatīt par reāliem.
Pierādījums. Šī teorēma ir patiesa kvadrātveida formām vienā nezināmā gadījumā, jo jebkurai šādai formai ir forma
, kas ir kanonisks. Ieviesīsim pierādījumu ar indukcijas palīdzību, tas ir, pierādīsim teorēmu kvadrātveida formām nezināmajos, ņemot vērā, ka formām ar mazāku nezināmo skaitu tā jau ir pierādīta.Ļaujiet kvadrātveida formai (1.1) no