زاویه دو وجهی شکلی است که تشکیل شده است. زاویه خطی

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

DIHEDRAL ANGLE معلم ریاضیات GOU دبیرستان شماره 10 Eremenko M.A.

اهداف اصلی درس: مفهوم زاویه دو وجهی و زاویه خطی آن را برای به کارگیری این مفاهیم در نظر بگیرید.

تعریف: زاویه دو وجهی شکلی است که توسط دو نیم صفحه با یک خط مستقیم مرز مشترک تشکیل شده است.

بزرگی یک زاویه دو وجهی، بزرگی زاویه خطی آن است. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - زاویه دو وجهی خطی ACD B

اجازه دهید ثابت کنیم که تمام زوایای خطی یک زاویه دو وجهی با یکدیگر برابر هستند. بیایید دو زاویه خطی AOB و A 1 OB 1 را در نظر بگیریم. پرتوهای OA و OA 1 روی یک وجه قرار دارند و بر OO 1 عمود هستند، بنابراین هم جهت هستند. تیرهای OB و OB 1 نیز به طور مشترک هدایت می شوند. بنابراین، ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (مانند زوایایی با اضلاع هم جهت).

نمونه هایی از زوایای دو وجهی:

تعریف: زاویه بین دو صفحه متقاطع کوچکترین زاویه دو وجهی است که توسط این صفحات تشکیل شده است.

وظیفه 1: در مکعب A ... D 1، زاویه بین صفحات ABC و CDD 1 را پیدا کنید. پاسخ: 90 o.

مسئله 2: در مکعب A ... D 1، زاویه بین صفحات ABC و CDA 1 را پیدا کنید. پاسخ: 45 o.

مسئله 3: در مکعب A ... D 1، زاویه بین صفحات ABC و BDD 1 را پیدا کنید. پاسخ: 90 o.

مسئله 4: در مکعب A ... D 1، زاویه بین صفحات ACC 1 و BDD 1 را پیدا کنید. پاسخ: 90 o.

مسئله 5: در مکعب A ... D 1 زاویه بین صفحات BC 1 D و BA 1 D را پیدا کنید. راه حل: فرض کنید O نقطه وسط B D باشد. A 1 OC 1 - زاویه خطی زاویه دو وجهی A 1 B D C 1.

مسئله 6: در چهار وجهی DABC همه یال ها برابرند، نقطه M وسط یال AC است. ثابت کنید که ∠ DMB زاویه خطی زاویه دو وجهی BACD است.

راه حل: مثلث های ABC و ADC منظم هستند، بنابراین، BM ⊥ AC و DM ⊥ AC و بنابراین ∠ DMB زاویه خطی زاویه دو وجهی DACB است.

مسئله 7: از راس B مثلث ABC که ضلع AC آن در صفحه α قرار دارد، یک BB 1 عمود بر این صفحه رسم می شود. اگر AB=2، ∠ВAC=150 0 و زاویه دووجهی ВАСВ 1 برابر با 45 0 باشد، فاصله نقطه B تا خط مستقیم AC و صفحه α را به دست آورید.

راه حل: ABC یک مثلث منفرد با زاویه منفرد A است، بنابراین قاعده ارتفاع BC روی امتداد ضلع AC قرار دارد. VC - فاصله از نقطه B تا AC. BB 1 - فاصله از نقطه B تا صفحه α

2) از آنجایی که AC ⊥BK، سپس AC⊥KB 1 (با قضیه معکوس قضیه در حدود سه عمود). بنابراین، ∠VKV 1 زاویه خطی زاویه دو وجهی BASV 1 و ∠VKV 1 =45 0 است. 3) ∆VAK: ∠A=30 0، VK=VA· sin 30 0، VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· گناه 45 0 , ВВ 1 =

متن متن درس:

در پلان سنجی، اجسام اصلی خطوط، پاره ها، پرتوها و نقاط هستند. پرتوهایی که از یک نقطه ساطع می شوند یکی از اشکال هندسی آنها را تشکیل می دهند - یک زاویه.

می دانیم که زاویه خطی با درجه و رادیان اندازه گیری می شود.

در استریومتری، یک صفحه به اجسام اضافه می شود. شکلی که از یک خط مستقیم a و دو نیم صفحه با مرز مشترک a تشکیل می شود که در هندسه به یک صفحه تعلق ندارند، زاویه دو وجهی نامیده می شود. نیم صفحه ها وجه های یک زاویه دو وجهی هستند. خط مستقیم a لبه ای از زاویه دو وجهی است.

یک زاویه دو وجهی، مانند یک زاویه خطی، می تواند نامگذاری، اندازه گیری و ساخته شود. این چیزی است که در این درس باید بدانیم.

بیایید زاویه دو وجهی را در مدل چهار وجهی ABCD پیدا کنیم.

یک زاویه دو وجهی با لبه AB CABD نامیده می شود که در آن نقاط C و D متعلق به وجوه مختلف زاویه هستند و لبه AB در وسط خوانده می شود.

در اطراف ما اشیاء بسیار زیادی با عناصری به شکل زاویه دو وجهی وجود دارد.

در بسیاری از شهرها، نیمکت های مخصوص برای آشتی در پارک ها نصب می شود. نیمکت به شکل دو صفحه شیبدار که به سمت مرکز همگرا هستند ساخته شده است.

هنگام ساخت خانه ها اغلب از سقف شیروانی استفاده می شود. در این خانه سقف به شکل زاویه دو وجهی 90 درجه ساخته شده است.

زاویه دو وجهی نیز بر حسب درجه یا رادیان اندازه گیری می شود، اما نحوه اندازه گیری آن.

جالب است بدانید که سقف خانه ها بر روی جرزها قرار گرفته است. و روکش تیرچه دو شیب سقف را در یک زاویه مشخص تشکیل می دهد.

بیایید تصویر را به نقاشی منتقل کنیم. در نقشه برای یافتن زاویه دو وجهی، نقطه B روی لبه آن مشخص شده است، از این نقطه دو پرتو BA و BC عمود بر لبه زاویه رسم می شود. زاویه ABC که توسط این پرتوها ایجاد می شود، زاویه دو وجهی خطی نامیده می شود.

اندازه درجه یک زاویه دو وجهی برابر است با درجه اندازه گیری زاویه خطی آن.

بیایید زاویه AOB را اندازه گیری کنیم.

اندازه درجه یک زاویه دو وجهی معین شصت درجه است.

تعداد نامتناهی زاویه خطی را می توان برای یک زاویه دو وجهی رسم کرد.

بیایید دو زاویه خطی AOB و A1O1B1 را در نظر بگیریم. پرتوهای OA و O1A1 روی یک وجه قرار دارند و بر خط مستقیم OO1 عمود هستند، بنابراین هم جهت هستند. تیرهای OB و O1B1 نیز به طور مشترک هدایت می شوند. بنابراین، زاویه AOB برابر با زاویه A1O1B1 به عنوان زوایایی با اضلاع هم جهت است.

بنابراین یک زاویه دو وجهی با یک زاویه خطی مشخص می شود و زاویه های خطی تند، مبهم و راست هستند. بیایید مدل هایی از زوایای دو وجهی را در نظر بگیریم.

زاویه منفرد در صورتی است که زاویه خطی آن بین 90 تا 180 درجه باشد.

یک زاویه قائمه اگر زاویه خطی آن 90 درجه باشد.

یک زاویه حاد، اگر زاویه خطی آن از 0 تا 90 درجه باشد.

اجازه دهید یکی از ویژگی های مهم زاویه خطی را ثابت کنیم.

صفحه زاویه خطی بر لبه زاویه دو وجهی عمود است.

فرض کنید زاویه AOB زاویه خطی یک زاویه دو وجهی معین باشد. با ساخت، پرتوهای AO و OB بر خط مستقیم a عمود هستند.

صفحه AOB از دو خط متقاطع AO و OB طبق قضیه عبور می کند: صفحه ای از دو خط متقاطع و فقط از یک می گذرد.

خط a عمود بر دو خط متقاطع واقع در این صفحه است، یعنی بر اساس عمود بودن خط و صفحه، خط مستقیم a عمود بر صفحه AOB است.

برای حل مسائل، مهم است که بتوانیم یک زاویه خطی از یک زاویه دو وجهی معین بسازیم. برای چهاروجهی ABCD یک زاویه خطی از یک زاویه دو وجهی با لبه AB بسازید.

ما در مورد یک زاویه دو وجهی صحبت می کنیم که اولاً توسط لبه AB، یک وجه ABD و وجه دوم ABC تشکیل می شود.

در اینجا یک راه برای ساخت آن وجود دارد.

بیایید یک عمود از نقطه D به صفحه ABC رسم کنیم. به یاد بیاورید که در یک چهار وجهی، قاعده عمود بر مرکز دایره محاطی در قاعده چهار وجهی منطبق است.

بیایید یک خط مایل از نقطه D عمود بر لبه AB رسم کنیم، نقطه N را به عنوان پایه خط مایل علامت گذاری کنیم.

در مثلث DMN، بخش NM نمایانگر DN مایل بر روی صفحه ABC خواهد بود. با توجه به قضیه سه عمود، لبه AB بر برجستگی NM عمود خواهد بود.

این بدان معنی است که اضلاع زاویه DNM بر لبه AB عمود هستند، به این معنی که زاویه ساخته شده DNM زاویه خطی مورد نظر است.

بیایید مثالی از حل مسئله محاسبه زاویه دو وجهی را در نظر بگیریم.

مثلث متساوی الساقین ABC و مثلث منظم ADB در یک صفحه قرار ندارند. قطعه CD عمود بر صفحه ADB است. اگر AC=CB=2 سانتی متر، AB=4 سانتی متر باشد، زاویه دو وجهی DABC را پیدا کنید.

زاویه دو وجهی DABC برابر با زاویه خطی آن است. بیایید این زاویه را بسازیم.

اجازه دهید CM مایل را عمود بر لبه AB بکشیم، زیرا مثلث ACB متساوی الساقین است، سپس نقطه M با وسط یال AB منطبق خواهد شد.

خط مستقیم CD عمود بر صفحه ADB است، به این معنی که بر خط مستقیم DM که در این صفحه قرار دارد عمود است. و بخش MD یک طرح ریزی از CM مایل بر روی صفحه ADV است.

خط مستقیم AB از نظر ساخت بر CM مایل عمود است، به این معنی که با قضیه سه عمود بر MD طرح ریزی عمود است.

بنابراین، دو عمود CM و DM به لبه AB یافت می شود. این بدان معنی است که آنها یک زاویه خطی CMD از زاویه دو وجهی DABC را تشکیل می دهند. و تنها کاری که باید انجام دهیم این است که آن را از CDM مثلث قائمه پیدا کنیم.

بنابراین قطعه SM میانه و ارتفاع مثلث متساوی الساقین ACB است، سپس طبق قضیه فیثاغورث، ساق SM برابر با 4 سانتی متر است.

از مثلث قائم الزاویه DMB، طبق قضیه فیثاغورث، ساق DM برابر با دو ریشه از سه است.

کسینوس یک زاویه از یک مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت پای مجاور MD به هیپوتنوز CM و برابر با سه ریشه سه ضرب در دو است. این به این معنی است که زاویه CMD 30 درجه است.

\(\blacktriangleright\) زاویه دو وجهی زاویه ای است که از دو نیم صفحه و یک خط مستقیم \(a\) تشکیل می شود که مرز مشترک آنهاست.

\(\blacktriangleright\) برای پیدا کردن زاویه بین صفحات \(\xi\) و \(\pi\), باید زاویه خطی را پیدا کنید (و تندیا مستقیم) زاویه دو وجهی تشکیل شده توسط صفحات \(\xi\) و \(\pi\):

مرحله 1: اجازه دهید \(\xi\cap\pi=a\) (خط تقاطع صفحات). در صفحه \(\xi\) یک نقطه دلخواه \(F\) را علامت گذاری می کنیم و \(FA\perp a\) را رسم می کنیم.

مرحله 2: \(FG\perp \pi\) را انجام دهید.

مرحله 3: با توجه به TTP (\(FG\) – عمود بر، \(FA\) – مایل، \(AG\) – طرح ریزی) داریم: \(AG\perp a\) ;

مرحله 4: زاویه \(\ زاویه FAG\) را زاویه خطی زاویه دو وجهی می گویند که توسط صفحات \(\xi\) و \(\pi\) تشکیل شده است.

توجه داشته باشید که مثلث \(AG\) قائم الزاویه است.
همچنین توجه داشته باشید که صفحه \(AFG\) ساخته شده به این ترتیب بر هر دو صفحه \(\xi\) و \(\pi\) عمود است. بنابراین، می توانیم آن را متفاوت بگوییم: زاویه بین هواپیماها\(\xi\) و \(\pi\) زاویه بین دو خط متقاطع \(c\in \xi\) و \(b\in\pi\) هستند که صفحه ای عمود بر و \(\xi\ را تشکیل می دهند. ) و \(\pi\) .

وظیفه 1 #2875

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

یک هرم چهار ضلعی که تمام لبه های آن برابر است و قاعده آن مربع است. \(6\cos \alpha\) را پیدا کنید، جایی که \(\alpha\) زاویه بین وجه های جانبی مجاور آن است.

فرض کنید \(SABCD\) یک هرم معین باشد (\(S\) یک راس است) که لبه های آن برابر با \(a\) است. در نتیجه، تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الاضلاع هستند. بیایید زاویه بین وجه های \(SAD\) و \(SCD\) را پیدا کنیم.

بیایید \(CH\perp SD\) را انجام دهیم. چون \(\مثلث SAD=\مثلث SCD\)، سپس \(AH\) نیز ارتفاع \(\مثلث SAD\) خواهد بود. بنابراین، طبق تعریف، \(\angle AHC=\alpha\) زاویه خطی زاویه دو وجهی بین وجه های \(SAD\) و \(SCD\) است.
از آنجایی که پایه مربع است، پس \(AC=a\sqrt2\) . همچنین توجه داشته باشید که \(CH=AH\) ارتفاع یک مثلث متساوی الاضلاع با ضلع \(a\) است، بنابراین \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
سپس با قضیه کسینوس از \(\مثلث AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

پاسخ: -2

وظیفه 2 #2876

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

صفحات \(\pi_1\) و \(\pi_2\) در زاویه ای که کسینوس آن برابر با \(0.2\) است قطع می شوند. صفحات \(\pi_2\) و \(\pi_3\) در زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند و خط تقاطع صفحات \(\pi_1\) و \(\pi_2\) موازی با خط تقاطع صفحه است. صفحات \(\pi_2\) و \(\ pi_3\) . سینوس زاویه بین صفحات \(\pi_1\) و \(\pi_3\) را پیدا کنید.

بگذارید خط تقاطع \(\pi_1\) و \(\pi_2\) یک خط مستقیم \(a\)، خط تقاطع \(\pi_2\) و \(\pi_3\) یک خط مستقیم باشد. خط \(b\)، و خط تقاطع \(\pi_3\) و \(\pi_1\) - خط مستقیم \(c\) . از آنجا که \(a\موازی b\) ، سپس \(c\موازی a\موازی b\) (طبق قضیه از بخش مرجع نظری "هندسه در فضا" \(\راست فلش\) "مقدمه ای بر استریومتری، موازی سازی»).

بیایید نقاط \(A\in a, B\in b\) را طوری علامت گذاری کنیم که \(AB\perp a, AB\perp b\) (این از زمان \(a\موازی b\) امکان پذیر است). اجازه دهید \(C\in c\) را علامت گذاری کنیم تا \(BC\perp c\) ، بنابراین \(BC\perp b\) . سپس \(AC\perp c\) و \(AC\perp a\) .
در واقع، از آنجایی که \(AB\perp b, BC\perp b\) , پس \(b\) عمود بر صفحه \(ABC\) است. از آنجایی که \(c\ موازی a\ موازی b\)، پس خطوط \(a\) و \(c\) نیز بر صفحه \(ABC\) عمود هستند و بنابراین به هر خطی از این صفحه، به ویژه ، خط \ (AC\) .

به دنبال آن است \(\ زاویه BAC=\زاویه (\pi_1, \pi_2)\), \(\ زاویه ABC=\ زاویه (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\ زاویه BCA =\ زاویه (\pi_3، \pi_1)\). معلوم می شود که \(\مثلث ABC\) مستطیلی است، به این معنی \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

پاسخ: 0.2

وظیفه 3 #2877

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

با توجه به خطوط مستقیم \(a, b, c\) که در یک نقطه قطع می شوند و زاویه بین هر دو از آنها برابر با \(60^\circ\) است. \(\cos^(-1)\alpha\) را پیدا کنید، جایی که \(\alpha\) زاویه بین صفحه تشکیل شده توسط خطوط \(a\) و \(c\) و صفحه تشکیل شده توسط خطوط \( b\ ) و \(c\) . پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

بگذارید خطوط در نقطه \(O\) قطع شوند. از آنجایی که زاویه بین هر دو از آنها برابر است با \(60^\circ\)، پس هر سه خط مستقیم نمی توانند در یک صفحه قرار بگیرند. اجازه دهید نقطه \(A\) را روی خط \(a\) علامت گذاری کنیم و \(AB\perp b\) و \(AC\perp c\) را رسم کنیم. سپس \(\مثلث AOB=\مثلث AOC\)به صورت مستطیل در امتداد هیپوتنوز و زاویه حاد. بنابراین، \(OB=OC\) و \(AB=AC\) .
بیایید \(AH\perp (BOC)\) را انجام دهیم. سپس با این قضیه در مورد سه عمود \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . از آنجا که \(AB=AC\) ، پس \(\مثلث AHB=\مثلث AHC\)به صورت مستطیلی در امتداد هیپوتنوز و پا. بنابراین، \(HB=HC\) . این بدان معنی است که \(OH\) نیمساز زاویه \(BOC\) است (زیرا نقطه \(H\) از اضلاع زاویه به یک اندازه فاصله دارد).

توجه داشته باشید که به این ترتیب زاویه خطی زاویه دو وجهی تشکیل شده توسط صفحه تشکیل شده توسط خطوط \(a\) و \(c\) و صفحه تشکیل شده توسط خطوط \(b\) و \(c را نیز ساختیم. \) . این زاویه \(ACH\) است.

بیایید این زاویه را پیدا کنیم. از آنجایی که نقطه \(A\) را خودسرانه انتخاب کردیم، اجازه دهید آن را طوری انتخاب کنیم که \(OA=2\) . سپس در مستطیل شکل \(\مثلث AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]از آنجایی که \(OH\) یک نیمساز است، پس \(\ زاویه HOC=30^\circ\) بنابراین در یک مستطیل شکل \(\مثلث HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]سپس از مستطیل شکل \(\مثلث ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

جواب: 3

وظیفه 4 #2910

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

صفحات \(\pi_1\) و \(\pi_2\) در امتداد خط مستقیم \(l\) که نقاط \(M\) و \(N\) روی آن قرار دارند قطع می شوند. پاره های \(MA\) و \(MB\) عمود بر خط مستقیم \(l\) هستند و به ترتیب در صفحات \(\pi_1\) و \(\pi_2\) قرار دارند و \(MN = 15 \) ، \(AN = 39\) ، \(BN = 17\) ، \(AB = 40\) . \(3\cos\alpha\) را پیدا کنید، جایی که \(\alpha\) زاویه بین صفحات \(\pi_1\) و \(\pi_2\) است.

مثلث \(AMN\) قائم الزاویه است، \(AN^2 = AM^2 + MN^2\)، از این رو \ مثلث \(BMN\) مستطیل شکل است، \(BN^2 = BM^2 + MN^2\)، که از روی آن قضیه کسینوس را برای مثلث \(AMB\) می نویسیم: \ سپس \ از آنجایی که زاویه \(\alpha\) بین صفحات یک زاویه تند است و \(\ زاویه AMB\) مبهم است، پس \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . سپس \

پاسخ: 1.25

وظیفه 5 #2911

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) یک متوازی الاضلاع است، \(ABCD\) مربعی با ضلع \(a\)، نقطه \(M\) قاعده عمودی است که از نقطه \(A_1\) به صفحه کاهش یافته است. ((ABCD)\) علاوه بر این، \(M\) نقطه تلاقی قطرهای مربع \(ABCD\) است. معلوم است که \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). زاویه بین صفحات \((ABCD)\) و \((AA_1B_1B)\) را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

بیایید \(MN\) را عمود بر \(AB\) همانطور که در شکل نشان داده شده است بسازیم.

از آنجایی که \(ABCD\) مربعی با ضلع \(a\) و \(MN\perp AB\) و \(BC\perp AB\) است، پس \(MN\موازی BC\) . از آنجایی که \(M\) نقطه تقاطع مورب های مربع است، پس \(M\) وسط \(AC\) است، بنابراین \(MN\) خط وسط است و \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) طرح \(A_1N\) بر روی صفحه \((ABCD)\) است و \(MN\) بر \(AB\) عمود است، سپس با قضیه سه عمود، \ (A_1N\) عمود بر \(AB \) است و زاویه بین صفحات \((ABCD)\) و \((AA_1B_1B)\) \(\زاویه A_1NM\) است.
\[\mathrm(tg)\، \زاویه A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

جواب: 60

وظیفه 6 #1854

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

در مربع \(ABCD\): \(O\) - نقطه تقاطع موربها. \(S\) - در صفحه مربع قرار نمی گیرد، \(SO \perp ABC\) . اگر \(SO = 5\) و \(AB = 10\) زاویه بین صفحات \(ASD\) و \(ABC\) را پیدا کنید.

مثلث قائم الزاویه \(\مثلث SAO\) و \(\مثلث SDO\) در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\ زاویه SOA = \ زاویه SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) ، زیرا \(O\) - نقطه تقاطع مورب های مربع، \(SO\) - ضلع مشترک) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\مثلث ASD\) - متساوی الساقین. نقطه \(K\) وسط \(AD\)، سپس \(SK\) ارتفاع در مثلث \(\مثلث ASD\) و \(OK\) ارتفاع مثلث \( AOD\) \(\ Rightarrow\) صفحه \(SOK\) عمود بر صفحات \(ASD\) و \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\زاویه SKO\) - زاویه خطی برابر با مطلوب است. زاویه دو وجهی

در \(\مثلث SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\ مثلث SOK\) – مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

جواب: 45

وظیفه 7 #1855

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

در مربع \(ABCD\): \(O\) - نقطه تقاطع موربها. \(S\) - در صفحه مربع قرار نمی گیرد، \(SO \perp ABC\) . اگر \(SO = 5\) و \(AB = 10\) زاویه بین صفحات \(ASD\) و \(BSC\) را پیدا کنید.

مثلث قائم الزاویه \(\مثلث SAO\) ، \(\مثلث SDO\) ، \(\مثلث SOB\) و \(\مثلث SOC\) در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند (\(SO \perp ABC \) \(\پیکان راست\) \(\ زاویه SOA = \ زاویه SOD = \ زاویه SOB = \ زاویه SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\)، زیرا \(O\) - نقطه تقاطع مورب های مربع، \(SO\) - ضلع مشترک) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \ مثلث ASD\) و \(\مثلث BSC\) متساوی الساقین هستند. نقطه \(K\) وسط \(AD\)، سپس \(SK\) ارتفاع در مثلث \(\مثلث ASD\) و \(OK\) ارتفاع مثلث \( AOD\) \(\ Rightarrow\) صفحه \(SOK\) عمود بر صفحه \(ASD\) است. نقطه \(L\) وسط \(BC\)، سپس \(SL\) ارتفاع در مثلث \(\مثلث BSC\) و \(OL\) ارتفاع در مثلث \( BOC\) \(\ Rightarrow\) صفحه \(SOL\) (معروف به صفحه \(SOK\)) عمود بر صفحه \(BSC\) است. بنابراین، دریافتیم که \(\ زاویه KSL\) یک زاویه خطی برابر با زاویه دو وجهی مورد نظر است.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - ارتفاعات در مثلث های متساوی الساقین مساوی که می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). قابل توجه است که \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) برای مثلث \(\مثلث KSL\) قضیه فیثاغورث معکوس \(\Rightarrow\) \(\مثلث KSL\) برقرار است - مثلث قائم الزاویه \(\Rightarrow\) \(\زاویه KSL = 90 ^\ circ\).

جواب: 90

آماده سازی دانش آموزان برای شرکت در امتحان دولتی واحد در ریاضیات، به عنوان یک قاعده، با تکرار فرمول های اساسی شروع می شود، از جمله آنهایی که به شما امکان می دهد زاویه بین هواپیماها را تعیین کنید. با وجود این واقعیت که این بخش از هندسه با جزئیات کافی در برنامه درسی مدرسه پوشش داده شده است، بسیاری از فارغ التحصیلان نیاز به تکرار مطالب اولیه دارند. دانش آموزان دبیرستانی با درک نحوه یافتن زاویه بین هواپیماها می توانند به سرعت پاسخ صحیح را هنگام حل یک مسئله محاسبه کنند و روی دریافت نمرات مناسب در نتایج قبولی در آزمون دولتی واحد حساب کنند.

تفاوت های ظریف اصلی

برای اطمینان از اینکه نحوه یافتن زاویه دو وجهی مشکلی ایجاد نمی کند، توصیه می کنیم از یک الگوریتم راه حل پیروی کنید که به شما کمک می کند تا با وظایف آزمون یکپارچه ایالت کنار بیایید.

ابتدا باید خط مستقیمی که هواپیماها در امتداد آن قطع می شوند را تعیین کنید.

سپس باید یک نقطه از این خط را انتخاب کنید و دو عمود بر آن رسم کنید.

گام بعدی یافتن تابع مثلثاتی زاویه دو وجهی تشکیل شده توسط عمود بر هم است. راحت ترین راه برای انجام این کار با کمک مثلث به دست آمده است که زاویه بخشی از آن است.

پاسخ مقدار زاویه یا تابع مثلثاتی آن خواهد بود.

آماده شدن برای آزمون امتحان با Shkolkovo کلید موفقیت شما است

در طول کلاس ها در آستانه قبولی در آزمون یکپارچه دولتی، بسیاری از دانش آموزان با مشکل یافتن تعاریف و فرمول هایی مواجه می شوند که به آنها اجازه می دهد زاویه بین 2 صفحه را محاسبه کنند. کتاب درسی مدرسه همیشه دقیقاً در صورت نیاز در دسترس نیست. و برای یافتن فرمول ها و مثال های لازم از کاربرد صحیح آنها، از جمله برای یافتن زاویه بین هواپیماها در اینترنت به صورت آنلاین، گاهی اوقات باید زمان زیادی را صرف کنید.

پورتال ریاضی Shkolkovo رویکرد جدیدی را برای آمادگی برای آزمون دولتی ارائه می دهد. کلاس های موجود در وب سایت ما به دانش آموزان کمک می کند تا سخت ترین بخش ها را برای خود شناسایی کنند و شکاف های دانش را پر کنند.

ما تمام مطالب لازم را آماده و به وضوح ارائه کرده ایم. تعاریف و فرمول های اساسی در بخش "اطلاعات نظری" ارائه شده است.

برای درک بهتر مطالب، تمرینات مناسب را نیز پیشنهاد می کنیم. به عنوان مثال، مجموعه بزرگی از وظایف با درجات مختلف پیچیدگی، در بخش "کاتالوگ" ارائه شده است. همه وظایف حاوی یک الگوریتم دقیق برای یافتن پاسخ صحیح هستند. لیست تمرینات در وب سایت به طور مداوم تکمیل و به روز می شود.

در حین تمرین حل مسائلی که نیاز به یافتن زاویه بین دو صفحه دارند، دانش آموزان این فرصت را دارند که هر کاری را به صورت آنلاین به عنوان "مورد علاقه" ذخیره کنند. با تشکر از این، آنها می توانند به تعداد مورد نیاز به آن برگردند و در مورد پیشرفت حل آن با معلم یا معلم مدرسه صحبت کنند.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثنائات:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

زاویه دو وجهی. زاویه دو وجهی خطی. زاویه دو وجهی شکلی است که از دو نیم صفحه تشکیل شده است که به یک صفحه تعلق ندارند و دارای یک مرز مشترک هستند - خط مستقیم a. نیم صفحه هایی که زاویه دو وجهی را تشکیل می دهند وجه های آن و مرز مشترک این نیم صفحه ها را لبه زاویه دو وجهی می نامند. زاویه خطی زاویه دو وجهی زاویه ای است که اضلاع آن پرتوهایی هستند که در امتداد آن وجوه زاویه دو وجهی با صفحه ای عمود بر لبه زاویه دو وجهی قطع می شود. هر زاویه دو وجهی هر تعداد زاویه خطی دارد: از طریق هر نقطه لبه می توان صفحه ای عمود بر این لبه رسم کرد. پرتوهایی که این صفحه در امتداد آن وجوه یک زاویه دووجهی را قطع می کند زوایای خطی را تشکیل می دهند.

تمام زوایای خطی یک زاویه دو وجهی با یکدیگر برابر هستند. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر زوایای دو وجهی تشکیل شده توسط صفحه قاعده هرم CABC و صفحات وجه های جانبی آن با هم برابر باشند، قاعده عمود برگرفته از راس K مرکز دایره محاطی در مثلث ABC است.

اثبات اول از همه، اجازه دهید زوایای خطی از زوایای دو وجهی مساوی بسازیم. طبق تعریف، صفحه یک زاویه خطی باید بر لبه زاویه دو وجهی عمود باشد. بنابراین، لبه یک زاویه دو وجهی باید عمود بر اضلاع زاویه خطی باشد. اگر KO بر صفحه پایه عمود باشد، می توانیم OR عمود بر AC، OR عمود بر SV، OQ عمود بر AB رسم کنیم و سپس نقاط P، Q، R را با نقطه K وصل کنیم. بنابراین، یک برآمدگی از RK، QK شیب دار خواهیم ساخت. ، RK به طوری که لبه های AC، NE، AB بر این برآمدگی ها عمود باشند. در نتیجه، این لبه ها عمود بر لبه های مایل هستند. و بنابراین، صفحات مثلث ROK، QOK، ROK بر لبه های مربوط به زاویه دو وجهی عمود هستند و آن زوایای خطی مساوی را تشکیل می دهند که در شرط ذکر شده است. مثلث های قائم الزاویه ROK، QOK، ROK متجانس هستند (چون یک پایه مشترک دارند OK و زوایای مقابل این پایه برابر هستند). بنابراین، OR = OR = OQ. اگر دایره ای با مرکز O و شعاع OP رسم کنیم، اضلاع مثلث ABC بر شعاع های OP، OR و OQ عمود هستند و بنابراین بر این دایره مماس هستند.

عمود بودن صفحات. صفحات آلفا و بتا در صورتی عمود نامیده می شوند که زاویه خطی یکی از زوایای دو وجهی تشکیل شده در محل تلاقی آنها برابر با 90 باشد. پس این صفحات عمود هستند.

شکل یک متوازی الاضلاع مستطیلی را نشان می دهد. پایه های آن مستطیل های ABCD و A1B1C1D1 است. و دنده های جانبی AA1 BB1، CC1، DD1 بر پایه ها عمود هستند. نتیجه این است که AA1 عمود بر AB است، یعنی وجه جانبی مستطیل است. بنابراین، می‌توانیم ویژگی‌های یک متوازی الاضلاع مستطیلی را توجیه کنیم: در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، هر شش وجه مستطیل هستند. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، هر شش وجه مستطیل هستند. تمام زوایای دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل قائمه هستند. تمام زوایای دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل قائمه هستند.

قضیه مربع قطر یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر با مجموع مربع های سه بعد آن است. اجازه دهید دوباره به شکل برگردیم و ثابت کنیم که AC12 = AB2 + AD2 + AA12 از آنجایی که لبه CC1 بر پایه ABCD عمود است، زاویه ACC1 راست است. از مثلث قائم الزاویه ACC1، با استفاده از قضیه فیثاغورث، AC12 = AC2 + CC12 را به دست می آوریم. اما AC مورب مستطیل ABCD است، بنابراین AC2 = AB2 + AD2. علاوه بر این، CC1 = AA1. بنابراین AC12= AB2+AD2+AA12 قضیه ثابت می شود.