На этом уроке мы вспомним весь пройденный по теме материал и будем решать примеры с различным типом неравенств. Вначале повторим метод интервалов и операции пересечения и объединения множеств. Далее будем решать примеры с использованием стандартных методик решения.
Тема: Рациональные неравенства и их системы
Урок: Обзорный урок по теме: «Рациональные неравенства и их системы»
Мы дозированно увеличивали сложность систем неравенств: сначала решали линейные системы, потом добавляли квадратные неравенства, рациональные неравенства , сами составляли системы, и, таким образом, у нас выработалась методика решения систем неравенств.
Она включает в себя важные элементы:
1. Метод интервалов как метод решения отдельных неравенств.
2. Операция пересечения и объединения числовых множеств.
Рассмотрим эти элементы. Вспомним метод интервалов на примере:
Рассмотрим функцию
Найдем корни квадратного трехчлена
Найдем корни по теореме Виета
Выделим интервалы знакопостоянства.
При переходе через т.-1 функция не меняет знак, т.к. скобка в четной степени.
Мы допустили ошибку, не указали изолированное решение.
Ответ: 
Изобразим эскиз графика функции.
Метод интервалов - важнейший элемент решения рациональных неравенств и систем.
Смысл операций пересечения и объединения множеств, в том числе числовых, помогает уяснить следующая картинка:
Пересечение множеств.
Имеем множество А неких элементов и множество В. Какая-то часть этих элементов одновременно попадает и во множество А, и во множество В, и она называется пересечением А и В (Рис. 3).
Например:
2. 
Их пересечение дает следующее множество:
Объединение множеств.
Есть элементы которые входят только во множество А, есть элементы которые входят только в множество В. Есть те, которые входят и туда и туда - эти элементы образуют пересечение множеств.
А все элементы из А и недостающие элементы из В образуют объединение множеств (Рис. 5).
Например:
(Рис. 6).
Решением неравенства является объединение двух множеств: 
Еще один пример.
Найти пересечение и объединение множеств.
Пересечение множеств:
Объединение множеств:
Решением является любое число,
5. 
Решить систему простейших неравенств.
Ответ: 
Мы повторили метод интервалов, операции объединения и пересечения множеств. Теперь рассмотрим обратную задачу, которая позволит глубже понять смысл решения неравенств.
Дано решение неравенства, нужно придумать хотя бы одно неравенство, для которого оно справедливо.
6. 
Найти неравенство, решением которого является данное объединение множеств.
Это может быть решение квадратного неравенства. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола, проходящая через точки 2 и 4.
Рассмотрим задачи с модулем.
Рассмотри первое неравенство. Что такое ? Это расстояние от точки с координатами x до точки3. А означает, что расстояние между этими точками не больше 2. Изобразим графически:
Решим второе неравенство.
Рассмотрим функцию
Графиком является парабола, ветви направлены вверх.
Вернемся к системе.
Ответ:
Сопутствующие задачи.
Найти наименьшее решение. Ответ: Наименьшего решения данной системы не существует.
Найти наибольшее решение. Ответ:
Мы провели обзор решения систем рациональных неравенств. Мы рассмотрели основные элементы, которые обеспечивают успех прохождения методики решения неравенств. Что нужно, чтобы решить неравенство? Метод интервалов. Что нужно, чтобы получить решение типовых систем? Нужно представлять себе операции пересечения и объединения.
Неравенства потребуются нам и в дальнейшем.
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Портал Естественных Наук ().
2. Портал Естественных Наук ().
3. Портал Естественных Наук ().
4. Портал Естественных Наук ().
5. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().
7. Центр образования «Технология обучения» ().
8. Центр образования «Технология обучения» ().
9. Центр образования «Технология обучения» ().
10. Раздел College.ru по математике ().
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 82 - 84; Домашняя контрольная работа № 1.
Методическая разработка
урока алгебры в 9 классе (2).
Учитель Р.И.Маслюк
Тема: Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов
Цели:
Закрепить навыки решения квадратных неравенств
Сформировать умения решать дробно-рациональных неравенства методом интервалов.
Сформировать понятие множества решений; выработать у учащихся культуру оформления геометрической интерпретации к решению неравенств.
Актуализировать знания о методах решения квадратичных неравенств, основанных на наглядно-геометрических интерпретациях;
Выработать умения самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях.
Задачи:
Образовательные : углубленное изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков решений задач повышенной сложности в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них.
Развивающие : развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно - деятельностной методики и элементов проблемного обучения.
Воспитательные : формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества.
Методы проведения:
Лекция с элементами беседы и проблемного обучения;
Лекционно-консультативная деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении задач повышенной сложности;
Самостоятельная работа учащихся;
Выработка культуры оформления решения квадратичных неравенств.
Ключевые компетенции:
Информационно-познавательные: умение работать с конспектом, умение слушать решение, представляемое одноклассником, выбирать в решении главное, делать выводы и обобщать.
Коммуникативные: умение вести диалог, доказывать свою точку зрения.
Предметные: умение исследовать квадратичную функцию на отрезке, используя знакопостоянство функции на определенном интервале; использовать графо-аналитический метод в решении уравнений и неравенств.
К моменту проведения урока учащиеся должны уметь:
С помощью числовой прямой находить пересечение и объединение числовых множеств
Используя формулу дискриминанта и теорему Виета находить корни квадратного трехчлена
Преобразовывать квадратный трехчлен в произведение линейных множителей
Ход урока
Оргмомент.
Проверка знаний:
1) Проверка домашнего задания №№ 333;334;(сверка ответов с обсуждением моментов,вызвавших затруднения при выполнении домашнего задания)
2) Актуализация опорных знаний .
Устная работа
(слайды) с обсуждением и геометрической интерпретацией на доске:
Да
Нет
Да
Нет
Разложить на множители
Решить неравенство
Найти решение неравенства
Ответы: 1) (х+3) 2 ;2) (-∞;-3) U (-3;+ ∞); 3)(-∞;-1) U (1;+ ∞);4)(0;2);5)(-4;-2)
3. Мотивация применения алгоритма решения
дробно-рациональных неравенств.
Решение дробно-рациональных неравенств
Ответы
а)
(-∞ ;-3)U(5;+∞)
б)
(-∞ ;-4)U(-1; 1)U
в) x
(-2;1]
2) а) x
(-∞;-2)U U (2;+ ∞)
б) x
(-∞;-1]U (0;+1]U (2;+ ∞)
в)
[-4 ;-2)U (1 ;3 ]
3) а)
[-3;-1) U U U(-2 ;1)U U (2 ;+ ∞)
в)
(-∞;-8)U(-1 ;8)U (8 ;+ ∞)
г)
(-∞;-2]U(-1 ;2]U (3 ;+ ∞)
Работа в группах проводится по уровням. Каждая группа защищает свое решение у доски. Остальные группы выступают как оппоненты. Оценки за работу выставляются коллегиально путем голосования.
Обобщение темы
Решение неравенств и систем неравенств методом интервалов.
С кем тебе было интересно работать в паре?
За что бы ты себя похвалил на уроке?
Что тебе понравилось на уроке больше всего?
Кого бы хотели поблагодарить за урок?
Домашнее заданиеГлава III ,пункт 6
I уровень- №№334(а, в),339(а)
II уровень- №№335,339(б)
III уровень- №№ 336, 339,379
Материал данного урока предназначен для повторения решения линейных неравенств; формирования понятия «системы рациональных неравенств», «решение рациональных неравенств»; формирования умений решать системы линейных неравенств любой сложности.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Конспект урока математики в 9 классе
по теме: «Системы рациональных неравенств»
Цели урока:
- повторить решение линейных неравенств;
- вывести понятия «системы рациональных неравенств», «решение рациональных неравенств»;
- объяснить решение простейших систем линейных неравенств;
- формировать умение решать системы линейных неравенств любой сложности.
Ход урока:
1. Организационный момент
2. Работа по карточкам
Карточка № 1.
Решите неравенство:
а) 5х+4
Карточка № 2.
Решите неравенство:
а) 8х+9≤ -4х+3 б) х²-2х-24≥0
Карточка № 3.
- Дано множество {-10,3; -7; 0; 2,6; 3}. Составьте его подмножество, состоящее из неотрицательных чисел.
- Множество А состоит из делителей числа 12, а множество В – из делителей числа 18. Найдите пересечение и объединение данных множеств.
Карточка № 4.
- Дано множество {-1,3; 0; 2; 3,8; 6; 11}. Составьте его подмножество, состоящее из натуральных чисел.
2. Множество А состоит из делителей числа 30, а множество В – из делителей числа 45. Найдите пересечение и объединение данных множеств.
(Карточки предлагаются 4 обучающимся, а в это время класс выполняет математический диктант)
Математический диктант. (Слайд 2)
Неравенство | Рисунок | Промежуток |
х≤9 | ||
(7;9] |
Для проверки приводится следующая таблица (слайд 3):
Неравенство | Рисунок | Промежуток |
х>7 | (7;+∞) |
|
х≤9 | (-∞; 9] |
|
(7;9] |
3. Подготовка к введению нового материала. Определение темы и целей урока.
Учитель задаёт вопросы, обучающиеся отвечают на них.
- Что такое система уравнений?
- Что является решением системы уравнений?
- Что значит решить систему уравнений?
Решите систему уравнений (слайд 4): х-у=5
Х+у=7 (6;1)
4) Что такое рациональное неравенство?
5) Что значит решить неравенство?
Рассмотрим два примера, решение которых, как мы увидим, приведет нас к новой математической модели. В этих примерах нам необходимо найти область определения выражений. (обучающиеся решают самостоятельно и проверяют по ключу) (слайд 5)
Пример 1. √2х-4
Пример 2. √8-х
А теперь рассмотрим выражение √2х-4 + √8-х. (слайд 6)
Как же найти его область определения?
Да она существует тогда, когда существует первый и второй корень одновременно. Что это вам напоминает? (ответы детей)
Вот мы и пришли к новой математической модели – система неравенств.
Какова же тема сегодняшнего нашего урока? (ответы обучающихся)
Да. Тема нашего урока: «Системы рациональных неравенств». (слайд 7)
Как вы думаете, какие вопросы могут возникнуть при изучении данной темы?
Из ваших ответов у нас получились цели урока. (слайд 8)
Что нам поможет в выполнении наших целей?
4. Изучение нового материала.
Вернемся к нашему выражению: √2х-4 + √8-х (слайд 9). Мы с вами сказали, что область определения данного выражения существует тогда, когда существует первый и второй корень одновременно. В этом случае говорят, что нужно решить систему неравенств
2х – 4 ≥ 0
8 – х ≥ 0.
Что же такое система неравенств?
Прочитаем определение в учебнике (стр. 41) и сравним с тем, которое озвучили вы.
Мы решили каждое неравенство отдельно. А теперь, чтобы найти общее решение, поступим следующим образом: на числовой прямой Ох отметим сначала решение первого неравенства х ≥ 2, а затем на этой же прямой отметим решение и второго неравенства – х ≤ 8. Они пересекаются в отрезке . (Запись воспроизводится на доске) Следовательно решением этой системы будет отрезок .
Так что же является решением системы неравенств? И что значит решить систему неравенств? (ответы обучающихся)
Давайте рассмотрим простейшие, но очень важные опорные знания. Решим системы неравенств:
Х > 7 Ответ: х > 10
Х > 10
Х > 7 Ответ: (7; 10]
Х ≤ 10
Х ≤ 7 Ответ: х ≤ 7
Х ≤ 10
Х ≥ 1 Ответ: }