Οι βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, οι εγγενείς ιδιότητές τους και οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι ένα από τα βασικά στοιχεία της μαθηματικής γνώσης, παρόμοια σε σημασία με τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι η βάση, η υποστήριξη για τη μελέτη όλων των θεωρητικών ζητημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Το παρακάτω άρθρο παρέχει βασικό υλικό για το θέμα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Θα εισαγάγουμε όρους, θα τους δώσουμε ορισμούς. Ας μελετήσουμε λεπτομερώς κάθε τύπο στοιχειωδών συναρτήσεων και ας αναλύσουμε τις ιδιότητές τους.

Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων:

Ορισμός 1

• σταθερή συνάρτηση (σταθερή);
• νύοστη ρίζα;
• λειτουργία ισχύος?
• εκθετική συνάρτηση;
• λογαριθμική συνάρτηση;
• τριγωνομετρικές συναρτήσεις;
• αδελφικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Μια σταθερή συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο: y = C (C είναι ένας συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός) και έχει επίσης ένα όνομα: σταθερά. Αυτή η συνάρτηση καθορίζει την αντιστοιχία οποιασδήποτε πραγματικής τιμής της ανεξάρτητης μεταβλητής x στην ίδια τιμή της μεταβλητής y - την τιμή του C.

Η γραφική παράσταση μιας σταθεράς είναι μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης και διέρχεται από ένα σημείο που έχει συντεταγμένες (0, C). Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε γραφήματα σταθερών συναρτήσεων y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (που υποδεικνύονται με μαύρο, κόκκινο και μπλε χρώμα στο σχέδιο, αντίστοιχα).

Ορισμός 2

Αυτή η στοιχειώδης συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο y = x n (το n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από ένα).

Ας εξετάσουμε δύο παραλλαγές της συνάρτησης.

1. nη ρίζα, n – ζυγός αριθμός

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε ένα σχέδιο που δείχνει γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων: y = x, y = x 4 και y = x8. Αυτά τα χαρακτηριστικά έχουν χρωματική κωδικοποίηση: μαύρο, κόκκινο και μπλε αντίστοιχα.

Τα γραφήματα μιας συνάρτησης ζυγού βαθμού έχουν παρόμοια εμφάνιση για άλλες τιμές του εκθέτη.

Ορισμός 3

Ιδιότητες της νης συνάρτησης ρίζας, το n είναι ένας ζυγός αριθμός

• πεδίο ορισμού – το σύνολο όλων των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών [ 0 , + ∞) ;
• όταν x = 0, συνάρτηση y = x n έχει τιμή ίση με μηδέν.
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε ζυγή ούτε περιττή).
• εύρος: [ 0 , + ∞) ;
• Αυτή η συνάρτηση y = x n για άρτιους εκθέτες ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
• η συνάρτηση έχει κυρτότητα με κατεύθυνση προς τα πάνω σε όλο το πεδίο ορισμού.
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• η γραφική παράσταση της συνάρτησης για άρτιο n διέρχεται από τα σημεία (0; 0) και (1; 1).

1. nη ρίζα, n – περιττός αριθμός

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y = x 3, y = x 5 και x 9 . Στο σχέδιο υποδεικνύονται με χρώματα: μαύρο, κόκκινο και μπλε είναι τα χρώματα των καμπυλών, αντίστοιχα.

Άλλες περιττές τιμές του εκθέτη ρίζας της συνάρτησης y = x n θα δώσουν ένα γράφημα παρόμοιου τύπου.

Ορισμός 4

Ιδιότητες της νης συνάρτησης ρίζας, το n είναι περιττός αριθμός

• τομέας ορισμού – το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• Αυτή η συνάρτηση είναι περίεργη.
• εύρος τιμών - το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• η συνάρτηση y = x n για περιττούς εκθέτες ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
• η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο διάστημα (- ∞ ; 0 ] και κυρτότητα στο διάστημα [ 0 , + ∞);
• το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0; 0).
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης για περιττό n διέρχεται από τα σημεία (- 1 ; - 1), (0 ; 0) και (1 ; 1).

Λειτουργία ισχύος

Ορισμός 5

Η συνάρτηση ισχύος ορίζεται από τον τύπο y = x a.

Η εμφάνιση των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης εξαρτώνται από την τιμή του εκθέτη.

• όταν μια συνάρτηση ισχύος έχει ακέραιο εκθέτη α, τότε ο τύπος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ισχύος και οι ιδιότητές της εξαρτώνται από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός, καθώς και από το πρόσημο που έχει ο εκθέτης. Ας εξετάσουμε όλες αυτές τις ειδικές περιπτώσεις με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.
• ο εκθέτης μπορεί να είναι κλασματικός ή παράλογος - ανάλογα με αυτό, ο τύπος των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης ποικίλλουν επίσης. Θα αναλύσουμε ειδικές περιπτώσεις θέτοντας αρκετές προϋποθέσεις: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• μια συνάρτηση ισχύος μπορεί να έχει μηδενικό εκθέτη θα αναλύσουμε επίσης αυτή την περίπτωση λεπτομερέστερα παρακάτω.

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν το a είναι ένας περιττός θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 1, 3, 5...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y = x (γραφικό χρώμα μαύρο), y = x 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 5 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος), y = x 7 (γραφικό χρώμα πράσινο). Όταν a = 1, παίρνουμε τη γραμμική συνάρτηση y = x.

Ορισμός 6

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός θετικός

• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κοιλότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης).
• το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0 ; 0) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης).
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν το a είναι ένας άρτιος θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 2, 4, 6...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y = x 2 (γραφικό χρώμα μαύρο), y = x 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 8 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). Όταν a = 2, παίρνουμε μια τετραγωνική συνάρτηση, η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια τετραγωνική παραβολή.

Ορισμός 7

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος θετικός:

• τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• φθίνουσα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων συνάρτησης ισχύος y = x a όταν το a είναι περιττός αρνητικός αριθμός: y = x - 9 (γραφικό χρώμα μαύρο). y = x - 5 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 3 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). y = x - 1 (γραφικό χρώμα πράσινο). Όταν a = - 1, λαμβάνουμε αντίστροφη αναλογικότητα, η γραφική παράσταση της οποίας είναι υπερβολή.

Ορισμός 8

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός αρνητικός:

Όταν x = 0, λαμβάνουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ για a = - 1, - 3, - 5, …. Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη.

• εύρος: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x);
• η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0) και κοιλότητα για x ∈ (0 ; + ∞) ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, όταν a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων της συνάρτησης ισχύος y = x a όταν το a είναι άρτιος αρνητικός αριθμός: y = x - 8 (γραφικό χρώμα μαύρο). y = x - 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 2 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος).

Ορισμός 9

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος:

• τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Όταν x = 0, λαμβάνουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ για a = - 2, - 4, - 6, …. Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

• η συνάρτηση είναι άρτια επειδή y(-x) = y(x);
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; 0) και μειώνεται για x ∈ 0; + ∞ ;
• η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0, γιατί:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 όταν a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Από την αρχή, δώστε προσοχή στην ακόλουθη πτυχή: στην περίπτωση που το a είναι ένα θετικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, ορισμένοι συγγραφείς λαμβάνουν το διάστημα - ∞ ως πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης ισχύος. + ∞ , ορίζοντας ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Προς το παρόν, οι συγγραφείς πολλών εκπαιδευτικών δημοσιεύσεων για την άλγεβρα και τις αρχές ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος, όπου ο εκθέτης είναι ένα κλάσμα με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Περαιτέρω θα τηρήσουμε ακριβώς αυτή τη θέση: θα πάρουμε το σύνολο [ 0 ; + ∞) . Σύσταση για τους μαθητές: μάθετε την άποψη του δασκάλου σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Ας δούμε λοιπόν τη συνάρτηση ισχύος y = x a , όταν ο εκθέτης είναι ρητός ή άρρητος αριθμός, με την προϋπόθεση ότι το 0< a < 1 .

Ας απεικονίσουμε τις συναρτήσεις ισχύος με γραφήματα y = x a όταν a = 11 12 (γραφικό χρώμα μαύρο); a = 5 7 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). a = 1 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος). a = 2 5 (πράσινο χρώμα του γραφήματος).

Άλλες τιμές του εκθέτη a (παρέχονται 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Ορισμός 10

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος στο 0< a < 1:

• εύρος: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ (0 ; + ∞);
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν ο εκθέτης είναι ένας μη ακέραιος ρητός ή άρρητος αριθμός, με την προϋπόθεση ότι a > 1.

Ας δείξουμε με γραφήματα τη συνάρτηση ισχύος y = x a υπό δεδομένες συνθήκες χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες συναρτήσεις ως παράδειγμα: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (μαύρα, κόκκινα, μπλε, πράσινα γραφήματα, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές του εκθέτη a, με την προϋπόθεση a > 1, θα δώσουν ένα παρόμοιο γράφημα.

Ορισμός 11

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για > 1:

• τομέας ορισμού: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• εύρος: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ (0 ; + ∞) (όταν 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Παρακαλώ σημειώστε όταν το a είναι ένα αρνητικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, στα έργα ορισμένων συγγραφέων υπάρχει η άποψη ότι το πεδίο ορισμού σε αυτήν την περίπτωση είναι το διάστημα - ∞. 0 ∪ (0 ; + ∞) με την προειδοποίηση ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Προς το παρόν, οι συγγραφείς εκπαιδευτικού υλικού για την άλγεβρα και τις αρχές ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος με έναν εκθέτη με τη μορφή κλάσματος με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Επιπλέον, τηρούμε ακριβώς αυτή την άποψη: παίρνουμε το σύνολο (0 ; + ∞) ως το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ισχύος με κλασματικούς αρνητικούς εκθέτες. Σύσταση για μαθητές: Ξεκαθαρίστε το όραμα του δασκάλου σας σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Ας συνεχίσουμε το θέμα και ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a παρέχεται: - 1< a < 0 .

Ας παρουσιάσουμε ένα σχέδιο γραφημάτων των παρακάτω συναρτήσεων: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο χρώμα του τις γραμμές, αντίστοιχα).

Ορισμός 12

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος στο - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• εύρος: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Το παρακάτω σχέδιο δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων ισχύος y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο χρώμα των καμπυλών, αντίστοιχα).

Ορισμός 13

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για α< - 1:

• τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν α< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ 0; + ∞ ;
• η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ 0; + ∞ ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία γραμμή y = 0;
• σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (1; 1) .

Όταν a = 0 και x ≠ 0, λαμβάνουμε τη συνάρτηση y = x 0 = 1, η οποία ορίζει την ευθεία από την οποία εξαιρείται το σημείο (0; 1) (συμφωνήθηκε ότι η έκφραση 0 0 δεν θα έχει νόημα ).

Η εκθετική συνάρτηση έχει τη μορφή y = a x, όπου a > 0 και a ≠ 1, και η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης φαίνεται διαφορετική με βάση την τιμή της βάσης a. Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις.

Αρχικά, ας δούμε την κατάσταση όταν η βάση της εκθετικής συνάρτησης έχει τιμή από μηδέν έως ένα (0< a < 1) . Ένα καλό παράδειγμα είναι τα γραφήματα των συναρτήσεων για a = 1 2 (μπλε χρώμα της καμπύλης) και a = 5 6 (κόκκινο χρώμα της καμπύλης).

Τα γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης θα έχουν παρόμοια εμφάνιση για άλλες τιμές της βάσης υπό την συνθήκη 0< a < 1 .

Ορισμός 14

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

• εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μικρότερη από μία μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0 με μεταβλητή x τείνει στο + ∞;

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που η βάση της εκθετικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία (a > 1).

Ας απεικονίσουμε αυτήν την ειδική περίπτωση με ένα γράφημα εκθετικών συναρτήσεων y = 3 2 x (μπλε χρώμα της καμπύλης) και y = e x (κόκκινο χρώμα του γραφήματος).

Άλλες τιμές της βάσης, μεγαλύτερες μονάδες, θα δώσουν παρόμοια εμφάνιση στο γράφημα της εκθετικής συνάρτησης.

Ορισμός 15

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

• τομέας ορισμού – ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
• εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• Μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μεγαλύτερη από μία αυξάνεται ως x ∈ - ∞; + ∞ ;
• η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο x ∈ - ∞; + ∞ ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0 με μεταβλητή x τείνει προς - ∞;
• σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (0; 1) .

Η λογαριθμική συνάρτηση έχει τη μορφή y = log a (x), όπου a > 0, a ≠ 1.

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικές τιμές του ορίσματος: για x ∈ 0; + ∞ .

Η γραφική παράσταση μιας λογαριθμικής συνάρτησης έχει διαφορετική εμφάνιση, με βάση την τιμή της βάσης a.

Ας εξετάσουμε πρώτα την κατάσταση όταν το 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Άλλες τιμές της βάσης, όχι μεγαλύτερες μονάδες, θα δώσουν παρόμοιο τύπο γραφήματος.

Ορισμός 16

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

• τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο +∞.
• εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• λογαριθμική
• η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ 0; + ∞ ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας δούμε τώρα την ειδική περίπτωση όταν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία: a > 1 . Το παρακάτω σχέδιο δείχνει γραφήματα λογαριθμικών συναρτήσεων y = log 3 2 x και y = ln x (μπλε και κόκκινα χρώματα των γραφημάτων, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές της βάσης μεγαλύτερες από μία θα δώσουν παρόμοιο τύπο γραφήματος.

Ορισμός 17

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

• τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν σε - ∞ ;
• εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ (ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών).
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ 0; + ∞ ;
• η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ 0; + ∞ ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (1; 0) .

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Ας δούμε τις ιδιότητες καθενός από αυτά και τα αντίστοιχα γραφικά.

Γενικά, όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της περιοδικότητας, δηλ. όταν οι τιμές των συναρτήσεων επαναλαμβάνονται για διαφορετικές τιμές του ορίσματος, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά την περίοδο f (x + T) = f (x) (T είναι η περίοδος). Έτσι, το στοιχείο "μικρότερη θετική περίοδος" προστίθεται στη λίστα των ιδιοτήτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επιπλέον, θα υποδείξουμε τις τιμές του ορίσματος στο οποίο η αντίστοιχη συνάρτηση γίνεται μηδέν.

1. Ημιτονοειδής συνάρτηση: y = sin(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται ημιτονοειδές κύμα.

Ορισμός 18

Ιδιότητες της ημιτονοειδούς συνάρτησης:

• πεδίο ορισμού: ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π · k, όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• η ημιτονοειδής συνάρτηση έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία π 2 + 2 π · k; 1 και τοπικά ελάχιστα στα σημεία - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι κοίλη όταν x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

1. Συνάρτηση συνημίτονου: y = cos(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνημιτονικό κύμα.

Ορισμός 19

Ιδιότητες της συνημίτονος:

• τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• μικρότερη θετική περίοδος: T = 2 π;
• εύρος τιμών: y ∈ - 1 ; 1 ;
• αυτή η συνάρτηση είναι άρτια, αφού y (- x) = y (x);
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• η συνημίτονο έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία 2 π · k ; 1, k ∈ Z και τοπικά ελάχιστα στα σημεία π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• η συνημίτονο είναι κοίλη όταν x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k. 0 , k ∈ Z
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

1. Συνάρτηση εφαπτομένης: y = t g (x)

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης καλείται εφαπτομένη γραμμή.

Ορισμός 20

Ιδιότητες της εφαπτομένης συνάρτησης:

• τομέας ορισμού: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
• Συμπεριφορά της εφαπτομένης συνάρτησης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π 2 + π · k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.
• η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π · k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
• εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση αυξάνεται ως - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• η συνάρτηση εφαπτομένης είναι κοίλη για x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z και κυρτό για x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. Συνεφαπτομένη συνάρτηση: y = c t g (x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνεφαπτοειδές. .

Ορισμός 21

Ιδιότητες της συνεπαπτομένης συνάρτησης:

• τομέας ορισμού: x ∈ (π · k ; π + π · k) , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων);

Συμπεριφορά της συνεπαπτομένης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π · k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.

• μικρότερη θετική περίοδος: T = π;
• η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π 2 + π · k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
• εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• η συνεπαπτομένη είναι κοίλη για x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z και κυρτή για x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k. 0 , k ∈ Z ;
• Δεν υπάρχουν λοξές ή οριζόντιες ασύμπτωτες.

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το τόξο, η αρκοσίνη, η τοξοεφαπτομένη και η τοξοεφαπτομένη. Συχνά, λόγω της παρουσίας του προθέματος "τόξο" στο όνομα, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ονομάζονται συναρτήσεις τόξου .

1. Συνάρτηση ημιτονοειδούς τόξου: y = a r c sin (x)

Ορισμός 22

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου:

• αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση τόξου έχει μια κοιλότητα για x ∈ 0; 1 και κυρτότητα για x ∈ - 1 ; 0 ;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες (0; 0), που είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

1. Συνάρτηση συνημιτόνου τόξου: y = a r c cos (x)

Ορισμός 23

Ιδιότητες της συνάρτησης συνημιτόνου τόξου:

• τομέας ορισμού: x ∈ - 1 ; 1 ;
• εύρος: y ∈ 0 ; π;
• αυτή η συνάρτηση είναι γενικής μορφής (ούτε ζυγή ούτε περιττή).
• η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
• η συνάρτηση τόξου συνημιτόνου έχει κοιλότητα στο x ∈ - 1; 0 και κυρτότητα για x ∈ 0; 1 ;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες 0. π 2;
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

1. Συνάρτηση Arctagent: y = a r c t g (x)

Ορισμός 24

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου:

• τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• εύρος τιμών: y ∈ - π 2 ; π 2;
• αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
• η συνάρτηση του τόξου έχει κοιλότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κυρτότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞);
• το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0; 0), που είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
• Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = - π 2 ως x → - ∞ και y = π 2 ως x → + ∞ (στο σχήμα, οι ασύμπτωτες είναι πράσινες γραμμές).

1. Συνάρτηση εφαπτομένης τόξου: y = a r c c t g (x)

Ορισμός 25

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου εφαπτομένης:

• τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• εύρος: y ∈ (0; π) ;
• Αυτή η συνάρτηση είναι γενικής μορφής.
• η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
• η συνάρτηση συνεφαπτομένης τόξου έχει μια κοιλότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞) και κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες 0. π 2;
• Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = π στο x → - ∞ (πράσινη γραμμή στο σχέδιο) και y = 0 στο x → + ∞.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αυτό το διδακτικό υλικό είναι μόνο για αναφορά και σχετίζεται με ένα ευρύ φάσμα θεμάτων. Το άρθρο παρέχει μια επισκόπηση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και εξετάζει το πιο σημαντικό ζήτημα - πώς να φτιάξετε ένα γράφημα σωστά και ΓΡΗΓΟΡΑ. Κατά τη διάρκεια της μελέτης ανώτερων μαθηματικών χωρίς γνώση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, θα είναι δύσκολο, επομένως είναι πολύ σημαντικό να θυμάστε πώς μοιάζουν τα γραφήματα μιας παραβολής, υπερβολής, ημιτόνου, συνημίτονο κ.λπ., και να θυμάστε μερικά των σημασιών των συναρτήσεων. Θα μιλήσουμε επίσης για ορισμένες ιδιότητες των κύριων συναρτήσεων.

Δεν διεκδικώ την πληρότητα και την επιστημονική πληρότητα των υλικών η έμφαση θα δοθεί, πρώτα απ 'όλα, στην πράξη - εκείνα τα πράγματα με τα οποία συναντά κανείς κυριολεκτικά σε κάθε βήμα, σε οποιοδήποτε θέμα ανώτερων μαθηματικών. Διαγράμματα για ανδρείκελα; Θα μπορούσε να πει κανείς.

Λόγω πολλών αιτημάτων αναγνωστών πίνακα περιεχομένων με δυνατότητα κλικ:

Επιπλέον, υπάρχει μια εξαιρετικά σύντομη περίληψη για το θέμα
– κατακτήστε 16 τύπους γραφημάτων μελετώντας ΕΞΙ σελίδες!

Σοβαρά, έξι, ακόμα κι εγώ εξεπλάγην. Αυτή η περίληψη περιέχει βελτιωμένα γραφικά και είναι διαθέσιμη με ονομαστική χρέωση. Είναι βολικό να εκτυπώσετε το αρχείο έτσι ώστε τα γραφήματα να είναι πάντα διαθέσιμα. Ευχαριστούμε για την υποστήριξη του έργου!

Και ας ξεκινήσουμε αμέσως:

Πώς να κατασκευάσετε σωστά τους άξονες συντεταγμένων;

Στην πράξη, τα τεστ ολοκληρώνονται σχεδόν πάντα από τους μαθητές σε ξεχωριστά τετράδια, γραμμωμένα σε τετράγωνο. Γιατί χρειάζεστε καρό σημάδια; Μετά από όλα, η εργασία, κατ 'αρχήν, μπορεί να γίνει σε φύλλα Α4. Και το κλουβί είναι απαραίτητο μόνο για υψηλής ποιότητας και ακριβή σχεδιασμό σχεδίων.

Οποιοδήποτε σχέδιο ενός γραφήματος συνάρτησης ξεκινά με άξονες συντεταγμένων.

Τα σχέδια μπορεί να είναι δισδιάστατα ή τρισδιάστατα.

Ας εξετάσουμε πρώτα τη δισδιάστατη περίπτωση Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:

1) Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Ο άξονας ονομάζεται άξονας x , και ο άξονας είναι άξονας y . Προσπαθούμε πάντα να τα σχεδιάζουμε τακτοποιημένο και όχι στραβό. Τα βέλη δεν πρέπει επίσης να μοιάζουν με τα γένια του Papa Carlo.

2) Υπογράφουμε τους άξονες με μεγάλα γράμματα «Χ» και «Υ». Μην ξεχάσετε να επισημάνετε τα τσεκούρια.

3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων: σχεδιάστε ένα μηδέν και δύο ένα. Όταν κάνετε ένα σχέδιο, η πιο βολική και συχνά χρησιμοποιούμενη κλίμακα είναι: 1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά) - αν είναι δυνατόν, τηρήστε την. Ωστόσο, κατά καιρούς συμβαίνει ότι το σχέδιο δεν ταιριάζει στο φύλλο του σημειωματάριου - τότε μειώνουμε την κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί (σχέδιο στα δεξιά). Είναι σπάνιο, αλλά συμβαίνει ότι η κλίμακα του σχεδίου πρέπει να μειωθεί (ή να αυξηθεί) ακόμη περισσότερο

ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ για «πολυβόλο» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Γιατί το επίπεδο συντεταγμένων δεν είναι μνημείο του Ντεκάρτ και ο μαθητής δεν είναι περιστέρι. Βάζουμε μηδένΚαι δύο μονάδες κατά μήκος των αξόνων. Μερικές φορές αντί γιαμονάδες, είναι βολικό να "μαρκάρετε" άλλες τιμές, για παράδειγμα, "δύο" στον άξονα της τετμημένης και "τρία" στον άξονα τεταγμένων - και αυτό το σύστημα (0, 2 και 3) θα ορίζει επίσης μοναδικά το πλέγμα συντεταγμένων.

Είναι καλύτερο να εκτιμήσετε τις εκτιμώμενες διαστάσεις του σχεδίου ΠΡΙΝ την κατασκευή του σχεδίου. Έτσι, για παράδειγμα, εάν η εργασία απαιτεί τη σχεδίαση ενός τριγώνου με κορυφές , , , τότε είναι απολύτως σαφές ότι η δημοφιλής κλίμακα 1 μονάδα = 2 κελιά δεν θα λειτουργήσει. Γιατί; Ας δούμε το σημείο - εδώ θα πρέπει να μετρήσετε δεκαπέντε εκατοστά κάτω και, προφανώς, το σχέδιο δεν θα χωρέσει (ή μόλις χωράει) σε ένα φύλλο σημειωματάριου. Επομένως, επιλέγουμε αμέσως μια μικρότερη κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί.

Παρεμπιπτόντως, περίπου εκατοστά και κελιά σημειωματάριου. Είναι αλήθεια ότι 30 κελιά σημειωματάριων περιέχουν 15 εκατοστά; Για διασκέδαση, μετρήστε 15 εκατοστά στο σημειωματάριό σας με ένα χάρακα. Στην ΕΣΣΔ, αυτό μπορεί να ίσχυε... Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν μετρήσετε αυτά τα ίδια εκατοστά οριζόντια και κάθετα, τα αποτελέσματα (στα κελιά) θα είναι διαφορετικά! Αυστηρά μιλώντας, τα μοντέρνα σημειωματάρια δεν είναι καρό, αλλά ορθογώνια. Αυτό μπορεί να φαίνεται ανοησία, αλλά το να σχεδιάζετε, για παράδειγμα, έναν κύκλο με πυξίδα σε τέτοιες καταστάσεις είναι πολύ άβολο. Για να είμαι ειλικρινής, σε τέτοιες στιγμές αρχίζεις να σκέφτεσαι την ορθότητα του συντρόφου Στάλιν, ο οποίος στάλθηκε σε στρατόπεδα για χάκερ στην παραγωγή, για να μην αναφέρουμε την εγχώρια αυτοκινητοβιομηχανία, την πτώση αεροπλάνων ή την έκρηξη σταθμών παραγωγής ενέργειας.

Μιλώντας για ποιότητα, ή μια σύντομη σύσταση για χαρτικά. Σήμερα, τα περισσότερα από τα σημειωματάρια που πωλούνται είναι, τουλάχιστον, χάλια. Για τον λόγο ότι βρέχονται και όχι μόνο από στυλό gel, αλλά και από στυλό! Εξοικονομούν χρήματα στα χαρτιά. Για την ολοκλήρωση των δοκιμών, συνιστώ να χρησιμοποιήσετε σημειωματάρια από το Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 φύλλα, τετράγωνο) ή το "Pyaterochka", αν και είναι πιο ακριβό. Συνιστάται να επιλέξετε ένα στυλό τζελ ακόμα και το φθηνότερο κινέζικο ξαναγέμισμα είναι πολύ καλύτερο από ένα στυλό, το οποίο είτε μουτζουρώνει είτε σκίζει το χαρτί. Το μόνο «ανταγωνιστικό» στυλό που θυμάμαι είναι το Erich Krause. Γράφει καθαρά, όμορφα και με συνέπεια – είτε με γεμάτο πυρήνα είτε με σχεδόν άδειο.

Επιπλέον: Το όραμα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων μέσα από τα μάτια της αναλυτικής γεωμετρίας καλύπτεται στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων, λεπτομερείς πληροφορίες για τα τέταρτα συντεταγμένων μπορείτε να βρείτε στη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Γραμμικές ανισότητες.

τρισδιάστατη θήκη

Είναι σχεδόν το ίδιο εδώ.

1) Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Πρότυπο: άξονας εφαρμογή – κατευθυνόμενος προς τα πάνω, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα δεξιά, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα κάτω προς τα αριστερά αυστηράσε γωνία 45 μοιρών.

2) Σημειώστε τα τσεκούρια.

3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Η κλίμακα κατά μήκος του άξονα είναι δύο φορές μικρότερη από την κλίμακα κατά μήκος των άλλων αξόνων. Σημειώστε επίσης ότι στο σωστό σχέδιο χρησιμοποίησα μια μη τυπική "εγκοπή" κατά μήκος του άξονα (Αυτή η δυνατότητα έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω). Από την άποψή μου, αυτό είναι πιο ακριβές, πιο γρήγορο και πιο ευχάριστο αισθητικά - δεν χρειάζεται να αναζητήσετε τη μέση του κυττάρου κάτω από ένα μικροσκόπιο και να "γλύψετε" μια μονάδα κοντά στην αρχή των συντεταγμένων.

Όταν κάνετε ένα τρισδιάστατο σχέδιο, πάλι, δώστε προτεραιότητα στην κλίμακα
1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά).

Σε τι χρησιμεύουν όλοι αυτοί οι κανόνες; Οι κανόνες είναι φτιαγμένοι για να παραβιάζονται. Αυτό θα κάνω τώρα. Το γεγονός είναι ότι τα επόμενα σχέδια του άρθρου θα γίνουν από εμένα στο Excel και οι άξονες συντεταγμένων θα φαίνονται λανθασμένοι από την άποψη του σωστού σχεδιασμού. Θα μπορούσα να σχεδιάσω όλα τα γραφήματα με το χέρι, αλλά είναι πραγματικά τρομακτικό να τα σχεδιάζω, καθώς το Excel είναι απρόθυμο να τα σχεδιάσει με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Γραφήματα και βασικές ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων

Μια γραμμική συνάρτηση δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση των γραμμικών συναρτήσεων είναι απευθείας. Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να γνωρίζουμε δύο σημεία.

Παράδειγμα 1

Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης. Ας βρούμε δύο σημεία. Συμφέρει να επιλέξετε το μηδέν ως ένα από τα σημεία.

Αν, τότε

Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο, για παράδειγμα, 1.

Αν, τότε

Κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, οι συντεταγμένες των σημείων συνήθως συνοψίζονται σε έναν πίνακα:

Και οι ίδιες οι τιμές υπολογίζονται προφορικά ή σε προσχέδιο, αριθμομηχανή.

Βρέθηκαν δύο σημεία, ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Όταν ετοιμάζουμε ένα σχέδιο, υπογράφουμε πάντα τα γραφικά.

Θα ήταν χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ειδικές περιπτώσεις μιας γραμμικής συνάρτησης:

Προσέξτε πώς έβαλα τις υπογραφές, οι υπογραφές δεν πρέπει να επιτρέπουν αποκλίσεις κατά τη μελέτη του σχεδίου. Σε αυτήν την περίπτωση, ήταν εξαιρετικά ανεπιθύμητο να βάλετε μια υπογραφή δίπλα στο σημείο τομής των γραμμών ή κάτω δεξιά μεταξύ των γραφημάτων.

1) Μια γραμμική συνάρτηση της μορφής () ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα. Για παράδειγμα, . Ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας διέρχεται πάντα από την αρχή. Έτσι, η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής απλοποιείται - αρκεί να βρείτε μόνο ένα σημείο.

2) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης σχεδιάζεται αμέσως, χωρίς να βρεθούν σημεία. Δηλαδή, η καταχώρηση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το y είναι πάντα ίσο με –4, για οποιαδήποτε τιμή του x».

3) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται επίσης αμέσως. Η καταχώριση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το x είναι πάντα, για οποιαδήποτε τιμή του y, ίση με 1».

Κάποιοι θα ρωτήσουν, γιατί να θυμάστε την 6η δημοτικού;! Έτσι είναι, ίσως να είναι έτσι, αλλά με τα χρόνια της εξάσκησης συνάντησα μια καλή ντουζίνα μαθητές που είχαν μπερδευτεί με το έργο της κατασκευής ενός γραφήματος όπως ή.

Η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής είναι η πιο κοινή ενέργεια κατά τη δημιουργία σχεδίων.

Η ευθεία γραμμή συζητείται αναλυτικά στο μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας και οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να ανατρέξουν στο άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

Γράφημα τετραγωνικής, κυβική συνάρτηση, γράφημα πολυωνύμου

Παραβολή. Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης () αντιπροσωπεύει μια παραβολή. Σκεφτείτε την περίφημη περίπτωση:

Ας θυμηθούμε μερικές ιδιότητες της συνάρτησης.

Άρα, η λύση της εξίσωσής μας: – σε αυτό το σημείο βρίσκεται η κορυφή της παραβολής. Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να μάθουμε από το θεωρητικό άρθρο για την παράγωγο και το μάθημα για τα άκρα της συνάρτησης. Στο μεταξύ, ας υπολογίσουμε την αντίστοιχη τιμή του «Y»:

Έτσι, η κορυφή βρίσκεται στο σημείο

Τώρα βρίσκουμε άλλα σημεία, ενώ χρησιμοποιούμε ευθαρσώς τη συμμετρία της παραβολής. Πρέπει να σημειωθεί ότι η συνάρτηση – δεν είναι καν, αλλά, παρόλα αυτά, κανείς δεν ακύρωσε τη συμμετρία της παραβολής.

Με ποια σειρά θα βρεθούν οι υπόλοιποι βαθμοί, νομίζω ότι θα φανεί από τον τελικό πίνακα:

Αυτός ο αλγόριθμος κατασκευής μπορεί μεταφορικά να ονομαστεί "σαΐτα" ή η αρχή "μπρος-πίσω" με την Anfisa Chekhova.

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Από τα γραφήματα που εξετάστηκαν, ένα άλλο χρήσιμο χαρακτηριστικό έρχεται στο μυαλό:

Για μια τετραγωνική συνάρτηση () ισχύει το εξής:

Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.

Σε βάθος γνώση για την καμπύλη μπορείτε να αποκτήσετε στο μάθημα Υπερβολή και παραβολή.

Μια κυβική παραβολή δίνεται από τη συνάρτηση. Εδώ είναι ένα οικείο σχέδιο από το σχολείο:

Ας απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης

Γράφημα μιας συνάρτησης

Αντιπροσωπεύει έναν από τους κλάδους μιας παραβολής. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Σε αυτή την περίπτωση, ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας υπερβολής στο .

Θα ήταν ΧΑΔΡΟ λάθος εάν, κατά την κατάρτιση ενός σχεδίου, αφήσετε απρόσεκτα το γράφημα να τέμνεται με μια ασύμπτωτη.

Επίσης τα μονόπλευρα όρια μας λένε ότι η υπερβολή δεν περιορίζεται από πάνωΚαι δεν περιορίζεται από κάτω.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση στο άπειρο: , δηλαδή, αν αρχίσουμε να κινούμαστε κατά μήκος του άξονα προς τα αριστερά (ή δεξιά) στο άπειρο, τότε τα «παιχνίδια» θα είναι ένα ομαλό βήμα απείρως κοντάπλησιάζει το μηδέν και, κατά συνέπεια, τους κλάδους της υπερβολής απείρως κοντάπλησιάζει τον άξονα.

Άρα ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, αν το "x" τείνει στο συν ή πλην άπειρο.

Η συνάρτηση είναι περιττός, και, επομένως, η υπερβολή είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Αυτό το γεγονός είναι προφανές από το σχέδιο, επιπλέον, επαληθεύεται εύκολα αναλυτικά: .

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής () αναπαριστά δύο κλάδους μιας υπερβολής.

Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο πρώτο και το τρίτο τέταρτο συντεταγμένων(βλ. εικόνα παραπάνω).

Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο δεύτερο και τέταρτο τέταρτο συντεταγμένων.

Το υποδεικνυόμενο μοτίβο της παραμονής της υπερβολής είναι εύκολο να αναλυθεί από την άποψη των γεωμετρικών μετασχηματισμών των γραφημάτων.

Παράδειγμα 3

Κατασκευάστε τον δεξιό κλάδο της υπερβολής

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο κατασκευής κατά σημείο και είναι πλεονεκτικό να επιλέγουμε τις τιμές έτσι ώστε να διαιρούνται με ένα σύνολο:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Δεν θα είναι δύσκολο να κατασκευάσουμε τον αριστερό κλάδο της υπερβολής. Χοντρικά, στον πίνακα κατασκευής σημείο προς σημείο, προσθέτουμε νοερά ένα μείον σε κάθε αριθμό, βάζουμε τους αντίστοιχους πόντους και σχεδιάζουμε τον δεύτερο κλάδο.

Λεπτομερείς γεωμετρικές πληροφορίες σχετικά με τη γραμμή που εξετάζεται μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Υπερβολή και παραβολή.

Γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης

Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσω αμέσως την εκθετική συνάρτηση, αφού σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών στο 95% των περιπτώσεων είναι η εκθετική που συναντάται.

Να σας υπενθυμίσω ότι αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός: , αυτό θα απαιτηθεί κατά την κατασκευή ενός γραφήματος, το οποίο, στην πραγματικότητα, θα κατασκευάσω χωρίς τελετή. Μάλλον αρκούν τρία σημεία:

Ας αφήσουμε μόνο το γράφημα της συνάρτησης προς το παρόν, περισσότερα για αυτό αργότερα.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Τα γραφήματα συναρτήσεων, κ.λπ., φαίνονται ουσιαστικά ίδια.

Πρέπει να πω ότι η δεύτερη περίπτωση εμφανίζεται λιγότερο συχνά στην πράξη, αλλά συμβαίνει, γι' αυτό θεώρησα απαραίτητο να το συμπεριλάβω σε αυτό το άρθρο.

Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης

Θεωρήστε μια συνάρτηση με φυσικό λογάριθμο.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:

Εάν έχετε ξεχάσει τι είναι ο λογάριθμος, ανατρέξτε στα σχολικά σας εγχειρίδια.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Τομέας ορισμού:

Εύρος τιμών: .

Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω: , αν και αργά, αλλά ο κλάδος του λογαρίθμου ανεβαίνει στο άπειρο.
Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο μηδέν στα δεξιά: . Άρα ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθώς το "x" τείνει προς το μηδέν από τα δεξιά.

Είναι επιτακτική ανάγκη να γνωρίζουμε και να θυμόμαστε την τυπική τιμή του λογαρίθμου: .

Κατ 'αρχήν, η γραφική παράσταση του λογάριθμου προς τη βάση φαίνεται ίδια: , , (δεκαδικός λογάριθμος στη βάση 10) κ.λπ. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η βάση, τόσο πιο επίπεδο θα είναι το γράφημα.

Δεν θα εξετάσουμε την περίπτωση. Δεν θυμάμαι την τελευταία φορά που έφτιαξα ένα γράφημα με τέτοια βάση. Και ο λογάριθμος φαίνεται να είναι ένας πολύ σπάνιος επισκέπτης σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Στο τέλος αυτής της παραγράφου θα πω ένα ακόμη γεγονός: Εκθετική συνάρτηση και λογαριθμική συνάρτηση– πρόκειται για δύο αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Αν κοιτάξετε προσεκτικά το γράφημα του λογάριθμου, μπορείτε να δείτε ότι αυτός είναι ο ίδιος εκθέτης, απλώς βρίσκεται λίγο διαφορετικά.

Γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Από πού αρχίζει το τριγωνομετρικό μαρτύριο στο σχολείο; Δικαίωμα. Από ημίτονο

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση

Αυτή η γραμμή ονομάζεται ημιτονοειδής.

Να σας υπενθυμίσω ότι το «πι» είναι ένας παράλογος αριθμός: , και στην τριγωνομετρία κάνει τα μάτια σας να θαμπώνουν.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Αυτή η λειτουργία είναι περιοδικόςμε περίοδο. Τι σημαίνει αυτό; Ας δούμε το τμήμα. Αριστερά και δεξιά του, το ίδιο ακριβώς κομμάτι του γραφήματος επαναλαμβάνεται ατελείωτα.

Τομέας ορισμού: , δηλαδή, για οποιαδήποτε τιμή του “x” υπάρχει ημιτονική τιμή.

Εύρος τιμών: . Η συνάρτηση είναι περιωρισμένος: , δηλαδή, όλα τα «παιχνίδια» βρίσκονται αυστηρά στο τμήμα .
Αυτό δεν συμβαίνει: ή, πιο συγκεκριμένα, συμβαίνει, αλλά αυτές οι εξισώσεις δεν έχουν λύση.

Σύστημα συντεταγμένων - πρόκειται για δύο αμοιβαία κάθετες γραμμές συντεταγμένων που τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο είναι η αρχή αναφοράς για καθεμία από αυτές.

Άξονες συντεταγμένων – ευθείες γραμμές που σχηματίζουν σύστημα συντεταγμένων.

Άξονας τετμημένης(άξονας x) - οριζόντιος άξονας.

Άξονας Υ(υ-άξονας) είναι ο κατακόρυφος άξονας.

Λειτουργία

Λειτουργίαείναι μια αντιστοίχιση στοιχείων του συνόλου X στο σύνολο Y. Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε στοιχείο x του συνόλου X αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή y του συνόλου Y.

Ευθεία

Γραμμική συνάρτηση – συνάρτηση της μορφής y = a x + b όπου a και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.

Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.

Ας δούμε πώς θα μοιάζει το γράφημα ανάλογα με τους συντελεστές a και b:

Αν a > 0, η ευθεία θα διέρχεται από τα τέταρτα συντεταγμένων I και III.

Ανένα< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b είναι το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα y.

Αν a = 0, η συνάρτηση παίρνει τη μορφή y = b.

Ας επισημάνουμε χωριστά τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x = a.

Σπουδαίος: αυτή η εξίσωση δεν είναι συνάρτηση αφού παραβιάζεται ο ορισμός της συνάρτησης (η συνάρτηση συσχετίζει κάθε στοιχείο x του συνόλου X με μία μόνο τιμή y του συνόλου Y). Αυτή η εξίσωση εκχωρεί ένα στοιχείο x σε ένα άπειρο σύνολο στοιχείων y. Ωστόσο, είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα γράφημα αυτής της εξίσωσης. Ας μην το ονομάζουμε περήφανη λέξη "Λειτουργία".

Παραβολή

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = a x 2 + b x + c είναι παραβολή .

Για να προσδιορίσετε με σαφήνεια πώς βρίσκεται η γραφική παράσταση μιας παραβολής σε ένα επίπεδο, πρέπει να γνωρίζετε τι επηρεάζουν οι συντελεστές a, b, c:

1. Ο συντελεστής α δείχνει πού κατευθύνονται οι κλάδοι της παραβολής.

• Αν a > 0, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.
• Αν α< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Ο συντελεστής c δείχνει σε ποιο σημείο η παραβολή τέμνει τον άξονα y.
2. Ο συντελεστής b βοηθά στην εύρεση του x σε - τη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής.

x in = − b 2 a

1. Το διαχωριστικό σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε πόσα σημεία τομής έχει η παραβολή με τον άξονα.

• Αν D > 0 - δύο σημεία τομής.
• Εάν D = 0 - ένα σημείο τομής.
• Αν ο Δ< 0 — нет точек пересечения.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = k x είναι υπερβολή .

Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας υπερβολής είναι ότι έχει ασύμπτωτες.

Ασύμπτωτες υπερβολής - ευθείες γραμμές στις οποίες αγωνίζεται, πηγαίνοντας στο άπειρο.

Ο άξονας x είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της υπερβολής

Ο άξονας y είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της υπερβολής.

Στο γράφημα, οι ασύμπτωτες σημειώνονται με μια πράσινη διακεκομμένη γραμμή.

Αν ο συντελεστής k > 0, τότε οι κλάδοι της υπερόλης διέρχονται από τα I και III τέταρτα.

Αν κ    <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Όσο μικρότερη είναι η απόλυτη τιμή του συντελεστή k (συντελεστής k χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πρόσημο), τόσο πιο κοντά είναι οι κλάδοι της υπερβολής στους άξονες x και y.

Τετραγωνική ρίζα

Η συνάρτηση y = x έχει το ακόλουθο γράφημα:

Αύξηση/φθίνουσα λειτουργία

Συνάρτηση y = f(x) αυξάνεται κατά το διάστημα , εάν μια μεγαλύτερη τιμή ορίσματος (μεγαλύτερη τιμή x) αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή συνάρτησης (μεγαλύτερη τιμή y).

Δηλαδή, όσο περισσότερο (στα δεξιά) το Χ, τόσο μεγαλύτερο (ψηλότερο) το Υ. Το γράφημα ανεβαίνει (κοιτάξτε από αριστερά προς τα δεξιά)

Συνάρτηση y = f(x) μειώνεται στο μεσοδιάστημα , εάν μια μεγαλύτερη τιμή ορίσματος (μια μεγαλύτερη τιμή x) αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή συνάρτησης (μια μεγαλύτερη τιμή y).

Μια γραμμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της μορφής y=kx+b, όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, k και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.

1. Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης,χρειαζόμαστε τις συντεταγμένες δύο σημείων που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για να τα βρείτε, πρέπει να πάρετε δύο τιμές x, να τις αντικαταστήσετε στην εξίσωση της συνάρτησης και να τις χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές y.

Για παράδειγμα, για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y= x+2, είναι βολικό να πάρουμε x=0 και x=3, τότε οι τεταγμένες αυτών των σημείων θα είναι ίσες με y=2 και y=3. Παίρνουμε τους βαθμούς Α(0;2) και Β(3;3). Ας τα συνδέσουμε και πάρουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y= x+2:

2. Στον τύπο y=kx+b, ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας:
αν k>0, τότε η συνάρτηση y=kx+b αυξάνεται
αν κ
Ο συντελεστής b δείχνει τη μετατόπιση του γραφήματος της συνάρτησης κατά μήκος του άξονα OY:
αν b>0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx μετατοπίζοντας b μονάδες προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα OY
αν β
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Σημειώστε ότι σε όλες αυτές τις συναρτήσεις ο συντελεστής k μεγαλύτερο από το μηδένκαι οι συναρτήσεις είναι αυξανόμενη.Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του k, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα OX.

Σε όλες τις συναρτήσεις b=3 - και βλέπουμε ότι όλα τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY στο σημείο (0;3)

Τώρα εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y=-2x+3. y=- ½ x+3; y=-x+3

Αυτή τη φορά σε όλες τις συναρτήσεις ο συντελεστής k λιγότερο από το μηδένκαι λειτουργίες μειώνονται.Συντελεστής b=3, και οι γραφικές παραστάσεις, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, τέμνουν τον άξονα OY στο σημείο (0;3)

Θεωρήστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Τώρα σε όλες τις εξισώσεις συνάρτησης οι συντελεστές k είναι ίσοι με 2. Και πήραμε τρεις παράλληλες ευθείες.

Αλλά οι συντελεστές b είναι διαφορετικοί και αυτά τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY σε διαφορετικά σημεία:
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x+3 (b=3) τέμνει τον άξονα OY στο σημείο (0;3)
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x (b=0) τέμνει τον άξονα OY στο σημείο (0;0) - την αρχή.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x-3 (b=-3) τέμνει τον άξονα OY στο σημείο (0;-3)

Άρα, αν γνωρίζουμε τα πρόσημα των συντελεστών k και b, τότε μπορούμε αμέσως να φανταστούμε πώς μοιάζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b.
Αν k 0

Αν k>0 και b>0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k>0 και β, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k=0, τότε η συνάρτηση y=kx+b μετατρέπεται στη συνάρτηση y=b και η γραφική παράσταση της μοιάζει με:

Οι τεταγμένες όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=b ισούνται με b Αν b=0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx (ευθεία αναλογικότητα) διέρχεται από την αρχή:

3. Ας σημειώσουμε χωριστά τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x=a.Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα OY, της οποίας όλα τα σημεία έχουν τετμημένη x=a.

Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της εξίσωσης x=3 μοιάζει με αυτό:
Προσοχή!Η εξίσωση x=a δεν είναι συνάρτηση, επομένως μια τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε διαφορετικές τιμές της συνάρτησης, η οποία δεν αντιστοιχεί στον ορισμό μιας συνάρτησης.

4. Συνθήκη για παραλληλισμό δύο ευθειών:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 1 x+b 1 είναι παράλληλη με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 2 x+b 2 αν k 1 =k 2

5. Η προϋπόθεση για δύο ευθείες να είναι κάθετες:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 1 x+b 1 είναι κάθετη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 2 x+b 2 αν k 1 *k 2 =-1 ή k 1 =-1/k 2

6. Σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=kx+b με τους άξονες συντεταγμένων.

Με άξονα OY. Η τετμημένη κάθε σημείου που ανήκει στον άξονα OY ισούται με μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OY, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν στην εξίσωση της συνάρτησης αντί για το x. Παίρνουμε y=b. Δηλαδή, το σημείο τομής με τον άξονα OY έχει συντεταγμένες (0; b).

Με άξονα ΟΧ: Η τεταγμένη οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στον άξονα ΟΧ είναι μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OX, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν στην εξίσωση της συνάρτησης αντί για το y. Παίρνουμε 0=kx+b. Επομένως x=-b/k. Δηλαδή, το σημείο τομής με τον άξονα OX έχει συντεταγμένες (-b/k;0):

Γνώση βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, τις ιδιότητες και τις γραφικές παραστάσεις τουςόχι λιγότερο σημαντικό από το να γνωρίζετε τους πίνακες πολλαπλασιασμού. Είναι σαν το θεμέλιο, όλα βασίζονται σε αυτά, όλα χτίζονται από αυτά και όλα κατεβαίνουν σε αυτά.

Σε αυτό το άρθρο θα απαριθμήσουμε όλες τις κύριες στοιχειώδεις συναρτήσεις, θα παρέχουμε τα γραφήματα τους και θα δώσουμε χωρίς συμπεράσματα ή απόδειξη ιδιότητες βασικών στοιχειωδών συναρτήσεωνσύμφωνα με το σχέδιο:

• συμπεριφορά μιας συνάρτησης στα όρια του πεδίου ορισμού, κατακόρυφες ασύμπτωτες (αν χρειάζεται, βλέπε την ταξινόμηση του άρθρου των σημείων ασυνέχειας μιας συνάρτησης).
• ζυγός και περιττός?
• διαστήματα κυρτότητας (κυρτότητα προς τα πάνω) και κοιλότητας (κυρτότητα προς τα κάτω), σημεία καμπής (αν είναι απαραίτητο, βλέπε την κυρτότητα του άρθρου μιας συνάρτησης, κατεύθυνση κυρτότητας, σημεία καμπής, συνθήκες κυρτότητας και καμπής).
• λοξές και οριζόντιες ασύμπτωτες.
• μοναδικά σημεία συναρτήσεων.
• ειδικές ιδιότητες ορισμένων συναρτήσεων (για παράδειγμα, η μικρότερη θετική περίοδος τριγωνομετρικών συναρτήσεων).

Εάν σας ενδιαφέρει ή, τότε μπορείτε να μεταβείτε σε αυτές τις ενότητες της θεωρίας.

Βασικές στοιχειώδεις λειτουργίεςείναι: σταθερή συνάρτηση (σταθερή), νη ρίζα, συνάρτηση ισχύος, εκθετική, λογαριθμική συνάρτηση, τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Μόνιμη λειτουργία.

Μια σταθερή συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών με τον τύπο , όπου C είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Μια σταθερή συνάρτηση συσχετίζει κάθε πραγματική τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x με την ίδια τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής y - την τιμή C. Μια σταθερή συνάρτηση ονομάζεται επίσης σταθερά.

Η γραφική παράσταση μιας σταθερής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα x και διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0,C). Για παράδειγμα, ας δείξουμε γραφήματα σταθερών συναρτήσεων y=5, y=-2 και, που στο παρακάτω σχήμα αντιστοιχούν στις μαύρες, κόκκινες και μπλε γραμμές, αντίστοιχα.

Ιδιότητες σταθερής συνάρτησης.

• Τομέας: ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
• Η σταθερή συνάρτηση είναι άρτια.
• Εύρος τιμών: ένα σύνολο που αποτελείται από τον ενικό αριθμό C.
• Μια σταθερή συνάρτηση δεν είναι αύξουσα και μη φθίνουσα (γι' αυτό είναι σταθερή).
• Δεν έχει νόημα να μιλάμε για κυρτότητα και κοιλότητα μιας σταθεράς.
• Δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.
• Η συνάρτηση διέρχεται από το σημείο (0,C) του επιπέδου συντεταγμένων.

Ρίζα του ν' βαθμού.

Ας εξετάσουμε τη βασική στοιχειώδη συνάρτηση, η οποία δίνεται από τον τύπο , όπου n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός.

Ρίζα του nου βαθμού, το n είναι ζυγός αριθμός.

Ας ξεκινήσουμε με τη ντη συνάρτηση ρίζας για ζυγές τιμές του εκθέτη ρίζας n.

Για παράδειγμα, εδώ είναι μια εικόνα με εικόνες γραφημάτων συναρτήσεων και , αντιστοιχούν σε μαύρες, κόκκινες και μπλε γραμμές.

Τα γραφήματα των συναρτήσεων ρίζας ζυγού βαθμού έχουν παρόμοια εμφάνιση για άλλες τιμές του εκθέτη.

Ιδιότητες της νης συνάρτησης ρίζας για άρτιο n.

Η ν η ρίζα, n είναι περιττός αριθμός.

Η ντη συνάρτηση ρίζας με περιττό εκθέτη ρίζας n ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, εδώ είναι τα γραφήματα συναρτήσεων και , αντιστοιχούν σε μαύρες, κόκκινες και μπλε καμπύλες.

Για άλλες περιττές τιμές του εκθέτη ρίζας, τα γραφήματα συναρτήσεων θα έχουν παρόμοια εμφάνιση.

Ιδιότητες της νης συνάρτησης ρίζας για περιττό n.

Λειτουργία ισχύος.

Η συνάρτηση ισχύος δίνεται από έναν τύπο της μορφής .

Ας εξετάσουμε τη μορφή των γραφημάτων μιας συνάρτησης ισχύος και τις ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος ανάλογα με την τιμή του εκθέτη.

Ας ξεκινήσουμε με μια συνάρτηση ισχύος με ακέραιο εκθέτη α. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος των γραφημάτων των συναρτήσεων ισχύος και οι ιδιότητες των συναρτήσεων εξαρτώνται από την ομοιότητα ή την περιττότητα του εκθέτη, καθώς και από το πρόσημο του. Επομένως, θα εξετάσουμε πρώτα τις συναρτήσεις ισχύος για περιττές θετικές τιμές του εκθέτη a, μετά για άρτιους θετικούς εκθέτες, μετά για περιττούς αρνητικούς εκθέτες και, τέλος, για άρτιους αρνητικούς εκθέτες.

Οι ιδιότητες των συναρτήσεων ισχύος με κλασματικούς και ανορθολογικούς εκθέτες (καθώς και το είδος των γραφημάτων τέτοιων συναρτήσεων ισχύος) εξαρτώνται από την τιμή του εκθέτη α. Θα τα θεωρήσουμε, πρώτον, για α από μηδέν προς ένα, δεύτερον, για μεγαλύτερο από ένα, τρίτον, για α από μείον ένα έως μηδέν, τέταρτον, για μικρότερο από μείον ένα.

Στο τέλος αυτής της ενότητας, για πληρότητα, θα περιγράψουμε μια συνάρτηση ισχύος με μηδενικό εκθέτη.

Συνάρτηση ισχύος με περιττό θετικό εκθέτη.

Ας θεωρήσουμε μια συνάρτηση ισχύος με περιττό θετικό εκθέτη, δηλαδή με a = 1,3,5,....

Το παρακάτω σχήμα δείχνει γραφήματα συναρτήσεων ισχύος - μαύρη γραμμή, - μπλε γραμμή, - κόκκινη γραμμή, - πράσινη γραμμή. Για a=1 έχουμε γραμμική συνάρτηση y=x.

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με περιττό θετικό εκθέτη.

Συνάρτηση ισχύος με ακόμη θετικό εκθέτη.

Ας θεωρήσουμε μια συνάρτηση ισχύος με άρτιο θετικό εκθέτη, δηλαδή για a = 2,4,6,....

Ως παράδειγμα, δίνουμε γραφήματα συναρτήσεων ισχύος – μαύρη γραμμή, – μπλε γραμμή, – κόκκινη γραμμή. Για a=2 έχουμε μια τετραγωνική συνάρτηση, η γραφική παράσταση της οποίας είναι τετραγωνική παραβολή.

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με άρτιο θετικό εκθέτη.

Συνάρτηση ισχύος με περιττό αρνητικό εκθέτη.

Δείτε τα γραφήματα της συνάρτησης ισχύος για περιττές αρνητικές τιμές του εκθέτη, δηλαδή για a = -1, -3, -5,....

Το σχήμα δείχνει γραφήματα συναρτήσεων ισχύος ως παραδείγματα - μαύρη γραμμή, - μπλε γραμμή, - κόκκινη γραμμή, - πράσινη γραμμή. Για a=-1 έχουμε αντίστροφη αναλογικότητα, του οποίου το γράφημα είναι υπερβολή.

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με περιττό αρνητικό εκθέτη.

Συνάρτηση ισχύος με άρτιο αρνητικό εκθέτη.

Ας προχωρήσουμε στη συνάρτηση ισχύος για a=-2,-4,-6,….

Το σχήμα δείχνει γραφήματα συναρτήσεων ισχύος – μαύρη γραμμή, – μπλε γραμμή, – κόκκινη γραμμή.

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με άρτιο αρνητικό εκθέτη.

Συνάρτηση ισχύος με λογικό ή παράλογο εκθέτη του οποίου η τιμή είναι μεγαλύτερη από μηδέν και μικρότερη από ένα.

Δίνω προσοχή!Εάν το a είναι ένα θετικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, τότε ορισμένοι συγγραφείς θεωρούν ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ισχύος είναι το διάστημα. Ορίζεται ότι ο εκθέτης α είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Τώρα οι συγγραφείς πολλών εγχειριδίων για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος με έναν εκθέτη με τη μορφή κλάσματος με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Θα τηρήσουμε ακριβώς αυτή την άποψη, δηλαδή θα θεωρήσουμε ότι το σύνολο είναι οι τομείς ορισμού των συναρτήσεων ισχύος με κλασματικούς θετικούς εκθέτες. Συνιστούμε στους μαθητές να μάθουν τη γνώμη του δασκάλου σας σχετικά με αυτό το λεπτό σημείο, προκειμένου να αποφευχθούν διαφωνίες.

Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση ισχύος με λογικό ή παράλογο εκθέτη a, και .

Ας παρουσιάσουμε γραφήματα συναρτήσεων ισχύος για a=11/12 (μαύρη γραμμή), a=5/7 (κόκκινη γραμμή), (μπλε γραμμή), a=2/5 (πράσινη γραμμή).

Συνάρτηση ισχύος με μη ακέραιο ορθολογικό ή παράλογο εκθέτη μεγαλύτερο από ένα.

Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση ισχύος με μη ακέραιο λογικό ή παράλογο εκθέτη a, και .

Ας παρουσιάσουμε γραφήματα συναρτήσεων ισχύος που δίνονται από τους τύπους (μαύρες, κόκκινες, μπλε και πράσινες γραμμές αντίστοιχα).

>

Για άλλες τιμές του εκθέτη a, τα γραφήματα της συνάρτησης θα έχουν παρόμοια εμφάνιση.

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος στο .

Μια συνάρτηση ισχύος με πραγματικό εκθέτη που είναι μεγαλύτερος από μείον ένα και μικρότερος από μηδέν.

Δίνω προσοχή!Εάν το a είναι ένα αρνητικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, τότε ορισμένοι συγγραφείς θεωρούν ότι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης ισχύος είναι το διάστημα . Ορίζεται ότι ο εκθέτης α είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Τώρα οι συγγραφείς πολλών εγχειριδίων για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος με έναν εκθέτη με τη μορφή κλάσματος με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Θα τηρήσουμε ακριβώς αυτήν την άποψη, δηλαδή θα θεωρήσουμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων ισχύος με κλασματικούς αρνητικούς εκθέτες ως σύνολο, αντίστοιχα. Συνιστούμε στους μαθητές να μάθουν τη γνώμη του δασκάλου σας σχετικά με αυτό το λεπτό σημείο, προκειμένου να αποφευχθούν διαφωνίες.

Ας περάσουμε στη συνάρτηση ισχύος, kgod.

Για να έχουμε μια καλή ιδέα για τη μορφή γραφημάτων συναρτήσεων ισχύος για το , δίνουμε παραδείγματα γραφημάτων συναρτήσεων (μαύρες, κόκκινες, μπλε και πράσινες καμπύλες, αντίστοιχα).

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με εκθέτη a, .

Μια συνάρτηση ισχύος με μη ακέραιο πραγματικό εκθέτη που είναι μικρότερος από μείον ένα.

Ας δώσουμε παραδείγματα γραφημάτων συναρτήσεων ισχύος για , απεικονίζονται με μαύρες, κόκκινες, μπλε και πράσινες γραμμές, αντίστοιχα.

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με μη ακέραιο αρνητικό εκθέτη μικρότερο από μείον ένα.

Όταν a = 0 και έχουμε μια συνάρτηση - αυτή είναι μια ευθεία γραμμή από την οποία εξαιρείται το σημείο (0;1) (συμφωνήθηκε να μην δοθεί καμία σημασία στην έκφραση 0 0).

Εκθετική συνάρτηση.

Μία από τις κύριες στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι η εκθετική συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης, όπου και παίρνει διαφορετικές μορφές ανάλογα με την τιμή της βάσης α. Ας το καταλάβουμε αυτό.

Αρχικά, εξετάστε την περίπτωση που η βάση της εκθετικής συνάρτησης παίρνει μια τιμή από μηδέν έως ένα, δηλαδή .

Ως παράδειγμα, παρουσιάζουμε γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης για a = 1/2 – μπλε γραμμή, a = 5/6 – κόκκινη γραμμή. Τα γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης έχουν παρόμοια εμφάνιση για άλλες τιμές της βάσης από το διάστημα.

Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης με βάση μικρότερη από μία.

Ας προχωρήσουμε στην περίπτωση που η βάση της εκθετικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία, δηλαδή .

Ενδεικτικά, παρουσιάζουμε γραφήματα εκθετικών συναρτήσεων - μπλε γραμμή και - κόκκινη γραμμή. Για άλλες τιμές της βάσης μεγαλύτερες του ενός, τα γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης θα έχουν παρόμοια εμφάνιση.

Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης με βάση μεγαλύτερη από μία.

Λογαριθμική συνάρτηση.

Η επόμενη βασική στοιχειώδης συνάρτηση είναι η λογαριθμική συνάρτηση, όπου , . Η λογαριθμική συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικές τιμές του ορίσματος, δηλαδή για .

Η γραφική παράσταση μιας λογαριθμικής συνάρτησης παίρνει διαφορετικές μορφές ανάλογα με την τιμή της βάσης α.