Η διαίρεση είναι μία από τις τέσσερις βασικές μαθηματικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός). Η διαίρεση, όπως και άλλες πράξεις, είναι σημαντική όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στην καθημερινή ζωή. Για παράδειγμα, εσείς ως ολόκληρη τάξη (25 άτομα) δωρίζετε χρήματα και αγοράζετε ένα δώρο για τον δάσκαλο, αλλά δεν τα ξοδεύετε όλα, θα περισσέψουν ρέστα. Έτσι θα χρειαστεί να μοιράσετε την αλλαγή σε όλους. Η λειτουργία διαίρεσης μπαίνει στο παιχνίδι για να σας βοηθήσει να λύσετε αυτό το πρόβλημα.
Η διαίρεση είναι μια ενδιαφέρουσα επιχείρηση, όπως θα δούμε σε αυτό το άρθρο!
Διαίρεση αριθμών
Λοιπόν, λίγη θεωρία και μετά πράξη! Τι είναι διαίρεση; Η διαίρεση είναι το σπάσιμο κάτι σε ίσα μέρη. Δηλαδή, θα μπορούσε να είναι ένα σακουλάκι με γλυκά που πρέπει να χωριστεί σε ίσα μέρη. Για παράδειγμα, σε μια τσάντα υπάρχουν 9 καραμέλες και το άτομο που θέλει να τις παραλάβει είναι τρεις. Στη συνέχεια, πρέπει να μοιράσετε αυτές τις 9 καραμέλες σε τρία άτομα.
Είναι γραμμένο ως εξής: 9:3, η απάντηση θα είναι ο αριθμός 3. Δηλαδή, η διαίρεση του αριθμού 9 με τον αριθμό 3 δείχνει τον αριθμό των τριών αριθμών που περιέχονται στον αριθμό 9. Η αντίστροφη ενέργεια, ένας έλεγχος, θα είναι πολλαπλασιασμός. 3*3=9. Δικαίωμα; Απολύτως.
Ας δούμε λοιπόν το παράδειγμα 12:6. Αρχικά, ας ονομάσουμε κάθε στοιχείο του παραδείγματος. 12 – μέρισμα, δηλαδή. ένας αριθμός που μπορεί να χωριστεί σε μέρη. Το 6 είναι ένας διαιρέτης, αυτός είναι ο αριθμός των μερών στα οποία διαιρείται το μέρισμα. Και το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός που ονομάζεται "πηλίκο".
Ας διαιρέσουμε το 12 με το 6, η απάντηση θα είναι ο αριθμός 2. Μπορείτε να ελέγξετε τη λύση πολλαπλασιάζοντας: 2*6=12. Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός 6 περιέχεται 2 φορές στον αριθμό 12.
Διαίρεση με υπόλοιπο
Τι είναι η διαίρεση με υπόλοιπο; Αυτή είναι η ίδια διαίρεση, μόνο που το αποτέλεσμα δεν είναι ζυγός αριθμός, όπως φαίνεται παραπάνω.
Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε το 17 με το 5. Εφόσον ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρείται με το 5 στο 17 είναι 15, τότε η απάντηση θα είναι 3 και το υπόλοιπο είναι 2, και γράφεται ως εξής: 17:5 = 3(2).
Για παράδειγμα, 22:7. Με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζουμε τον μέγιστο αριθμό που διαιρείται με το 7 στο 22. Αυτός ο αριθμός είναι 21. Η απάντηση τότε θα είναι: 3 και το υπόλοιπο 1. Και γράφεται: 22:7 = 3 (1).
Διαίρεση με το 3 και το 9
Μια ειδική περίπτωση διαίρεσης θα ήταν η διαίρεση με τον αριθμό 3 και τον αριθμό 9. Εάν θέλετε να μάθετε εάν ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 χωρίς υπόλοιπο, τότε θα χρειαστείτε:
Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του μερίσματος.
Διαιρέστε με το 3 ή το 9 (ανάλογα με το τι χρειάζεστε).
Εάν η απάντηση ληφθεί χωρίς υπόλοιπο, τότε ο αριθμός θα διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο.
Για παράδειγμα, ο αριθμός 18. Το άθροισμα των ψηφίων είναι 1+8 = 9. Το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται και με το 3 και με το 9. Ο αριθμός 18:9=2, 18:3=6. Διαιρείται χωρίς υπόλοιπο.
Για παράδειγμα, ο αριθμός 63. Το άθροισμα των ψηφίων είναι 6+3 = 9. Διαιρείται και με το 9 και με το 3. 63:9 = 7 και 63:3 = 21. Τέτοιες πράξεις εκτελούνται με οποιονδήποτε αριθμό για να μάθουμε είτε διαιρείται με το υπόλοιπο με το 3 ή το 9 είτε όχι.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση
Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίθετες πράξεις. Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δοκιμή για τη διαίρεση και η διαίρεση μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δοκιμή για τον πολλαπλασιασμό. Μπορείτε να μάθετε περισσότερα σχετικά με τον πολλαπλασιασμό και να κυριαρχήσετε τη λειτουργία στο άρθρο μας σχετικά με τον πολλαπλασιασμό. Το οποίο περιγράφει λεπτομερώς τον πολλαπλασιασμό και πώς να το κάνετε σωστά. Εκεί θα βρείτε επίσης τον πίνακα πολλαπλασιασμού και παραδείγματα για εκπαίδευση.
Ακολουθεί ένα παράδειγμα ελέγχου διαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Ας υποθέσουμε ότι το παράδειγμα είναι 6*4. Απάντηση: 24. Έπειτα ας ελέγξουμε την απάντηση με διαίρεση: 24:4=6, 24:6=4. Σωστά αποφασίστηκε. Στην περίπτωση αυτή, ο έλεγχος πραγματοποιείται διαιρώντας την απάντηση με έναν από τους παράγοντες.
Ή δίνεται ένα παράδειγμα για τη διαίρεση 56:8. Απάντηση: 7. Τότε το τεστ θα είναι 8*7=56. Δικαίωμα; Ναί. Στην περίπτωση αυτή, ο έλεγχος εκτελείται πολλαπλασιάζοντας την απάντηση με τον διαιρέτη.
Κατηγορία 3 τάξη
Στην τρίτη δημοτικού μόλις αρχίζουν να περνούν από τη διαίρεση. Επομένως, οι μαθητές της τρίτης τάξης λύνουν τα πιο απλά προβλήματα:
Πρόβλημα 1. Σε έναν εργάτη εργοστασίου δόθηκε το καθήκον να βάλει 56 κέικ σε 8 συσκευασίες. Πόσες τούρτες πρέπει να βάλουμε σε κάθε συσκευασία για να βγάλουμε την ίδια ποσότητα σε κάθε συσκευασία;
Πρόβλημα 2. Την παραμονή της Πρωτοχρονιάς στο σχολείο, σε παιδιά μιας τάξης 15 μαθητών δόθηκαν 75 καραμέλες. Πόσες καραμέλες πρέπει να λάβει κάθε παιδί;
Πρόβλημα 3. Η Ρόμα, η Σάσα και η Μίσα μάζεψαν 27 μήλα από τη μηλιά. Πόσα μήλα θα πάρει ο καθένας αν χρειαστεί να μοιραστούν ισόποσα;
Πρόβλημα 4. Τέσσερις φίλοι αγόρασαν 58 μπισκότα. Μετά όμως κατάλαβαν ότι δεν μπορούσαν να τους μοιράσουν ίσα. Πόσα επιπλέον cookies πρέπει να αγοράσουν τα παιδιά για να πάρει 15 το καθένα;
Τμήμα 4η τάξη
Η διαίρεση στην τέταρτη τάξη είναι πιο σοβαρή από την τρίτη. Όλοι οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται με τη μέθοδο της διαίρεσης στηλών και οι αριθμοί που εμπλέκονται στη διαίρεση δεν είναι μικροί. Τι είναι η μακρά διαίρεση; Μπορείτε να βρείτε την απάντηση παρακάτω:
Διαίρεση στηλών
Τι είναι η μακρά διαίρεση; Αυτή είναι μια μέθοδος που σας επιτρέπει να βρείτε την απάντηση στη διαίρεση μεγάλων αριθμών. Εάν μπορούν να διαιρεθούν πρώτοι αριθμοί όπως το 16 και το 4, και η απάντηση είναι ξεκάθαρη - 4. Τότε το 512:8 δεν είναι εύκολο για ένα παιδί στο μυαλό του. Και είναι καθήκον μας να μιλήσουμε για την τεχνική για την επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων.
Ας δούμε ένα παράδειγμα, 512:8.
1 βήμα. Ας γράψουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη ως εξής:
Το πηλίκο θα γραφτεί τελικά κάτω από τον διαιρέτη και οι υπολογισμοί κάτω από το μέρισμα.
Βήμα 2. Αρχίζουμε τη διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά. Αρχικά παίρνουμε τον αριθμό 5: 
Βήμα 3. Ο αριθμός 5 είναι μικρότερος από τον αριθμό 8, πράγμα που σημαίνει ότι δεν θα είναι δυνατή η διαίρεση. Επομένως, παίρνουμε ένα άλλο ψηφίο του μερίσματος:
Τώρα το 51 είναι μεγαλύτερο από το 8. Αυτό είναι ένα ημιτελές πηλίκο.
Βήμα 4. Βάζουμε μια τελεία κάτω από τον διαιρέτη.
Βήμα 5. Μετά το 51 υπάρχει ένας άλλος αριθμός 2, που σημαίνει ότι θα υπάρχει ένας ακόμη αριθμός στην απάντηση, δηλαδή. πηλίκο είναι ένας διψήφιος αριθμός. Ας βάλουμε το δεύτερο σημείο:
Βήμα 6. Ξεκινάμε την επιχείρηση διαίρεσης. Ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρείται με το 8 χωρίς υπόλοιπο στο 51 είναι το 48. Διαιρώντας το 48 με το 8, παίρνουμε 6. Γράψτε τον αριθμό 6 αντί για την πρώτη κουκκίδα κάτω από τον διαιρέτη:
Βήμα 7. Στη συνέχεια, γράψτε τον αριθμό ακριβώς κάτω από τον αριθμό 51 και βάλτε ένα σύμβολο "-":
Βήμα 8. Στη συνέχεια αφαιρούμε το 48 από το 51 και παίρνουμε την απάντηση 3.
* 9 βήμα*. Κατεβάζουμε τον αριθμό 2 και τον γράφουμε δίπλα στον αριθμό 3:
Βήμα 10Διαιρούμε τον αριθμό 32 που προκύπτει με 8 και παίρνουμε το δεύτερο ψηφίο της απάντησης - 4.
Άρα η απάντηση είναι 64, χωρίς υπόλοιπο. Αν διαιρούσαμε τον αριθμό 513, τότε το υπόλοιπο θα ήταν ένα.
Διαίρεση τριών ψηφίων
Η διαίρεση τριψήφιων αριθμών γίνεται με τη μέθοδο της μακράς διαίρεσης, η οποία εξηγήθηκε στο παραπάνω παράδειγμα. Ένα παράδειγμα ενός μόνο τριψήφιου αριθμού.
Διαίρεση κλασμάτων
Η διαίρεση των κλασμάτων δεν είναι τόσο δύσκολη όσο φαίνεται με την πρώτη ματιά. Για παράδειγμα, (2/3):(1/4). Η μέθοδος αυτής της διαίρεσης είναι αρκετά απλή. 2/3 είναι το μέρισμα, 1/4 είναι ο διαιρέτης. Μπορείτε να αντικαταστήσετε το σύμβολο διαίρεσης (:) με πολλαπλασιασμό ( ), αλλά για να γίνει αυτό πρέπει να ανταλλάξετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του διαιρέτη. Δηλαδή παίρνουμε: (2/3)(4/1), (2/3)*4, αυτό ισούται με 8/3 ή 2 ακέραιους αριθμούς και 2/3 Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα, με μια απεικόνιση για καλύτερη κατανόηση. Θεωρήστε τα κλάσματα (4/7):(2/5):
Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, αντιστρέφουμε τον διαιρέτη 2/5 και παίρνουμε 5/2, αντικαθιστώντας τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό. Στη συνέχεια παίρνουμε (4/7)*(5/2). Κάνουμε μια αναγωγή και απαντάμε: 10/7, μετά βγάζουμε ολόκληρο το μέρος: 1 ολόκληρο και 3/7.
Διαίρεση αριθμών σε τάξεις
Ας φανταστούμε τον αριθμό 148951784296 και τον διαιρούμε σε τρία ψηφία: 148.951.784.296 Άρα, από δεξιά προς τα αριστερά: 296 είναι η κατηγορία των χιλιάδων, 951 είναι η τάξη των εκατομμυρίων, 148 είναι η τάξη των δισεκατομμυρίων. Με τη σειρά τους, σε κάθε τάξη 3 ψηφία έχουν το δικό τους ψηφίο. Από δεξιά προς τα αριστερά: το πρώτο ψηφίο είναι μονάδες, το δεύτερο ψηφίο είναι δεκάδες, το τρίτο είναι εκατοντάδες. Για παράδειγμα, η κατηγορία των μονάδων είναι 296, το 6 είναι ένα, το 9 είναι δεκάδες, το 2 είναι εκατοντάδες.
Διαίρεση φυσικών αριθμών
Η διαίρεση φυσικών αριθμών είναι η απλούστερη διαίρεση που περιγράφεται σε αυτό το άρθρο. Μπορεί να είναι είτε με ή χωρίς υπόλοιπο. Ο διαιρέτης και το μέρισμα μπορεί να είναι οποιοιδήποτε μη κλασματικοί, ακέραιοι αριθμοί. 
Εγγραφείτε στο μάθημα "Επιτάχυνση νοητικής αριθμητικής, ΟΧΙ νοητικής αριθμητικής" για να μάθετε πώς να προσθέτετε, να αφαιρείτε, να πολλαπλασιάζετε, να διαιρείτε, να τετραγωνίζετε αριθμούς και ακόμη και να εξάγετε ρίζες γρήγορα και σωστά. Σε 30 ημέρες, θα μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε εύκολα κόλπα για να απλοποιήσετε τις αριθμητικές πράξεις. Κάθε μάθημα περιέχει νέες τεχνικές, ξεκάθαρα παραδείγματα και χρήσιμες εργασίες.
Παρουσίαση τμήματος
Η παρουσίαση είναι ένας άλλος τρόπος οπτικοποίησης του θέματος της διαίρεσης. Παρακάτω θα βρούμε έναν σύνδεσμο προς μια εξαιρετική παρουσίαση που εξηγεί καλά πώς γίνεται η διαίρεση, τι είναι η διαίρεση, τι είναι το μέρισμα, ο διαιρέτης και το πηλίκο. Μην σπαταλάτε το χρόνο σας, αλλά εμπεδώστε τις γνώσεις σας!
Παραδείγματα για διαίρεση
Εύκολο επίπεδο
Ενδιάμεσο επίπεδο
Δύσκολο επίπεδο
Παιχνίδια για την ανάπτυξη νοητικής αριθμητικής
Ειδικά εκπαιδευτικά παιχνίδια που αναπτύχθηκαν με τη συμμετοχή Ρώσων επιστημόνων από το Skolkovo θα βοηθήσουν στη βελτίωση των νοητικών αριθμητικών δεξιοτήτων σε μια ενδιαφέρουσα μορφή παιχνιδιού.
Παιχνίδι "Μάντεψε τη λειτουργία"
Το παιχνίδι «Μάντεψε τη λειτουργία» αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Το κύριο σημείο του παιχνιδιού είναι να επιλέξετε ένα μαθηματικό πρόσημο για να είναι αληθινή η ισότητα. Δίνονται παραδείγματα στην οθόνη, κοιτάξτε προσεκτικά και βάλτε το απαιτούμενο σύμβολο «+» ή «-» έτσι ώστε η ισότητα να είναι αληθής. Τα σημάδια «+» και «-» βρίσκονται στο κάτω μέρος της εικόνας, επιλέξτε το επιθυμητό σύμβολο και κάντε κλικ στο κουμπί που θέλετε. Αν απαντήσατε σωστά, κερδίζετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.
Παιχνίδι "Απλοποίηση"
Το παιχνίδι «Απλοποίηση» αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Η κύρια ουσία του παιχνιδιού είναι να εκτελέσετε γρήγορα μια μαθηματική πράξη. Ένας μαθητής σχεδιάζεται στην οθόνη στον μαυροπίνακα και δίνεται μια μαθηματική πράξη ο μαθητής πρέπει να υπολογίσει αυτό το παράδειγμα και να γράψει την απάντηση. Ακολουθούν τρεις απαντήσεις, μετρήστε και κάντε κλικ στον αριθμό που χρειάζεστε χρησιμοποιώντας το ποντίκι. Αν απαντήσατε σωστά, κερδίζετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.
Παιχνίδι "Γρήγορη προσθήκη"
Το παιχνίδι "Quick Addition" αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Η κύρια ουσία του παιχνιδιού είναι να επιλέξετε αριθμούς των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με έναν δεδομένο αριθμό. Σε αυτό το παιχνίδι, δίνεται ένας πίνακας από το ένα έως το δεκαέξι. Ένας δεδομένος αριθμός είναι γραμμένος πάνω από τον πίνακα, πρέπει να επιλέξετε τους αριθμούς στον πίνακα έτσι ώστε το άθροισμα αυτών των ψηφίων να είναι ίσο με τον δεδομένο αριθμό. Αν απαντήσατε σωστά, κερδίζετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.
Παιχνίδι Οπτικής Γεωμετρίας
Το παιχνίδι «Οπτική Γεωμετρία» αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Η κύρια ουσία του παιχνιδιού είναι να μετρήσετε γρήγορα τον αριθμό των σκιασμένων αντικειμένων και να τον επιλέξετε από τη λίστα των απαντήσεων. Σε αυτό το παιχνίδι, τα μπλε τετράγωνα εμφανίζονται στην οθόνη για λίγα δευτερόλεπτα, πρέπει να τα μετρήσετε γρήγορα και μετά κλείνουν. Κάτω από τον πίνακα υπάρχουν τέσσερις αριθμοί γραμμένοι, πρέπει να επιλέξετε έναν σωστό αριθμό και να κάνετε κλικ σε αυτόν με το ποντίκι. Αν απαντήσατε σωστά, κερδίζετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.
Παιχνίδι "κουμπαράς"
Το παιχνίδι Piggy Bank αναπτύσσει τη σκέψη και τη μνήμη. Η κύρια ουσία του παιχνιδιού είναι να επιλέξετε ποιος κουμπαράς έχει περισσότερα χρήματα Σε αυτό το παιχνίδι υπάρχουν τέσσερις κουμπαράς, πρέπει να μετρήσετε ποιος κουμπαράς έχει τα περισσότερα χρήματα και να δείξετε αυτόν τον κουμπαρά με το ποντίκι. Αν απαντήσατε σωστά, τότε κερδίζετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.
Παιχνίδι "Γρήγορη επαναφόρτωση προσθήκης"
Το παιχνίδι "Γρήγορη επανεκκίνηση προσθήκης" αναπτύσσει τη σκέψη, τη μνήμη και την προσοχή. Το κύριο σημείο του παιχνιδιού είναι να επιλέξετε τους σωστούς όρους, το άθροισμα των οποίων θα είναι ίσο με τον δεδομένο αριθμό. Σε αυτό το παιχνίδι, δίνονται τρεις αριθμοί στην οθόνη και δίνεται μια εργασία, προσθέστε τον αριθμό, η οθόνη δείχνει ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί. Επιλέγετε τους επιθυμητούς αριθμούς από τρεις αριθμούς και τους πατάτε. Αν απαντήσατε σωστά, τότε κερδίζετε πόντους και συνεχίζετε να παίζετε.
Ανάπτυξη φαινομενικής νοητικής αριθμητικής
Εξετάσαμε μόνο την κορυφή του παγόβουνου, για να κατανοήσουμε καλύτερα τα μαθηματικά - εγγραφείτε στο μάθημά μας: Επιτάχυνση νοητικής αριθμητικής - ΟΧΙ νοητική αριθμητική.
Από το μάθημα όχι μόνο θα μάθετε δεκάδες τεχνικές απλοποιημένου και γρήγορου πολλαπλασιασμού, πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και υπολογισμού ποσοστών, αλλά θα τις εξασκήσετε και σε ειδικές εργασίες και εκπαιδευτικά παιχνίδια! Η νοητική αριθμητική απαιτεί επίσης πολλή προσοχή και συγκέντρωση, τα οποία εκπαιδεύονται ενεργά όταν λύνουν ενδιαφέροντα προβλήματα.
Ταχεία ανάγνωση σε 30 ημέρες
Αυξήστε την ταχύτητα ανάγνωσης κατά 2-3 φορές σε 30 ημέρες. Από 150-200 έως 300-600 λέξεις το λεπτό ή από 400 έως 800-1200 λέξεις το λεπτό. Το μάθημα χρησιμοποιεί παραδοσιακές ασκήσεις για την ανάπτυξη της ταχείας ανάγνωσης, τεχνικές που επιταχύνουν τη λειτουργία του εγκεφάλου, μεθόδους προοδευτικής αύξησης της ταχύτητας ανάγνωσης, την ψυχολογία της ταχείας ανάγνωσης και ερωτήσεις από τους συμμετέχοντες στο μάθημα. Κατάλληλο για παιδιά και ενήλικες που διαβάζουν έως και 5000 λέξεις το λεπτό.
Ανάπτυξη μνήμης και προσοχής σε παιδί 5-10 ετών
Σκοπός του μαθήματος: να αναπτύξει τη μνήμη και την προσοχή του παιδιού, ώστε να είναι ευκολότερο για αυτό να σπουδάσει στο σχολείο, ώστε να θυμάται καλύτερα.
Μετά την ολοκλήρωση του μαθήματος, το παιδί θα είναι σε θέση:
- 2-5 φορές καλύτερα να θυμάστε κείμενα, πρόσωπα, αριθμούς, λέξεις
Ο εγκέφαλος, όπως και το σώμα, χρειάζεται φυσική κατάσταση. Η σωματική άσκηση δυναμώνει το σώμα, η νοητική άσκηση αναπτύσσει τον εγκέφαλο. 30 ημέρες χρήσιμων ασκήσεων και εκπαιδευτικών παιχνιδιών για την ανάπτυξη της μνήμης, της συγκέντρωσης, της ευφυΐας και της ταχύτητας ανάγνωσης θα ενισχύσουν τον εγκέφαλο, μετατρέποντάς τον σε σκληρό καρύδι.
Το χρήμα και η νοοτροπία του εκατομμυριούχου
Γιατί υπάρχουν προβλήματα με τα χρήματα; Σε αυτό το μάθημα θα απαντήσουμε λεπτομερώς σε αυτήν την ερώτηση, θα εξετάσουμε βαθιά το πρόβλημα και θα εξετάσουμε τη σχέση μας με τα χρήματα από ψυχολογική, οικονομική και συναισθηματική άποψη. Από το μάθημα θα μάθετε τι πρέπει να κάνετε για να λύσετε όλα τα οικονομικά σας προβλήματα, να αρχίσετε να εξοικονομείτε χρήματα και να τα επενδύετε στο μέλλον.
Η γνώση της ψυχολογίας του χρήματος και του τρόπου εργασίας με αυτά κάνει έναν άνθρωπο εκατομμυριούχο. Το 80% των ανθρώπων συνάπτουν περισσότερα δάνεια καθώς το εισόδημά τους αυξάνεται, και γίνονται ακόμα πιο φτωχοί. Από την άλλη, οι αυτοδημιούργητοι εκατομμυριούχοι θα κερδίσουν ξανά εκατομμύρια σε 3-5 χρόνια αν ξεκινήσουν από το μηδέν. Αυτό το μάθημα σας διδάσκει πώς να κατανέμετε σωστά τα έσοδα και να μειώνετε τα έξοδα, σας παρακινεί να μελετήσετε και να πετύχετε στόχους, σας διδάσκει πώς να επενδύετε χρήματα και να αναγνωρίζετε μια απάτη.
Ο ευκολότερος τρόπος για να διαιρέσετε πολυψήφιους αριθμούς είναι με μια στήλη. Ονομάζεται επίσης διαίρεση στηλών γωνιακό τμήμα.
Πριν αρχίσουμε να κάνουμε διαίρεση με στήλη, θα εξετάσουμε λεπτομερώς την ίδια τη μορφή εγγραφής της διαίρεσης με στήλη. Αρχικά, σημειώνουμε το μέρισμα και βάζουμε μια κάθετη γραμμή στα δεξιά του:
Πίσω από την κάθετη γραμμή, απέναντι από το μέρισμα, γράψτε τον διαιρέτη και σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή κάτω από αυτόν:
Κάτω από την οριζόντια γραμμή, το πηλίκο που προκύπτει θα γραφεί βήμα προς βήμα:
Οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί θα γραφτούν κάτω από το μέρισμα:
Η πλήρης μορφή γραφής διαίρεσης ανά στήλη έχει ως εξής:
Πώς να διαιρέσετε ανά στήλη
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 780 με το 12, να γράψουμε την ενέργεια σε μια στήλη και να προχωρήσουμε στη διαίρεση:
Η διαίρεση της στήλης πραγματοποιείται σε στάδια. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να προσδιορίσουμε το ημιτελές μέρισμα. Εξετάζουμε το πρώτο ψηφίο του μερίσματος:
αυτός ο αριθμός είναι 7, αφού είναι μικρότερος από τον διαιρέτη, δεν μπορούμε να ξεκινήσουμε τη διαίρεση από αυτόν, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να πάρουμε ένα άλλο ψηφίο από το μέρισμα, ο αριθμός 78 είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη, οπότε ξεκινάμε τη διαίρεση από αυτόν:
Στην περίπτωσή μας ο αριθμός 78 θα είναι ελλιπής διαιρετέος, λέγεται ελλιπής γιατί είναι μόνο ένα μέρος του διαιρετέου.
Έχοντας καθορίσει το ημιτελές μέρισμα, μπορούμε να μάθουμε πόσα ψηφία θα είναι στο πηλίκο, για αυτό πρέπει να υπολογίσουμε πόσα ψηφία έχουν απομείνει στο μέρισμα μετά το ημιτελές μέρισμα, στην περίπτωσή μας υπάρχει μόνο ένα ψηφίο - 0, αυτό σημαίνει ότι το πηλίκο θα αποτελείται από 2 ψηφία.
Έχοντας βρει τον αριθμό των ψηφίων που πρέπει να είναι στο πηλίκο, μπορείτε να βάλετε τελείες στη θέση του. Εάν, κατά την ολοκλήρωση της διαίρεσης, ο αριθμός των ψηφίων αποδειχθεί μεγαλύτερος ή μικρότερος από τα υποδεικνυόμενα σημεία, τότε έγινε κάπου ένα σφάλμα:
Ας αρχίσουμε να χωρίζουμε. Πρέπει να προσδιορίσουμε πόσες φορές το 12 περιέχεται στον αριθμό 78. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά τον διαιρέτη με τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, ... μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό όσο το δυνατόν πιο κοντά στο ημιτελές μέρισμα ή ίσο με αυτό, χωρίς όμως να το υπερβαίνει. Έτσι, παίρνουμε τον αριθμό 6, τον γράφουμε κάτω από τον διαιρέτη και από το 78 (σύμφωνα με τους κανόνες της αφαίρεσης στηλών) αφαιρούμε το 72 (12 6 = 72). Αφού αφαιρέσουμε το 72 από το 78, το υπόλοιπο είναι 6:
Σημειώστε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης μας δείχνει εάν επιλέξαμε σωστά τον αριθμό. Αν το υπόλοιπο είναι ίσο ή μεγαλύτερο από τον διαιρέτη, τότε έχουμε επιλέξει τον αριθμό λάθος και πρέπει να πάρουμε μεγαλύτερο αριθμό.
Στο υπόλοιπο που προκύπτει - 6, προσθέστε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος - 0. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα ημιτελές μέρισμα - 60. Προσδιορίστε πόσες φορές το 12 περιέχεται στον αριθμό 60. Παίρνουμε τον αριθμό 5, τον γράφουμε στο το πηλίκο μετά τον αριθμό 6 και αφαιρέστε το 60 από το 60 ( 12 5 = 60). Το υπόλοιπο είναι μηδέν:
Δεδομένου ότι δεν έχουν απομείνει άλλα ψηφία στο μέρισμα, σημαίνει ότι το 780 διαιρείται με το 12 πλήρως. Ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης μακράς διαίρεσης, βρήκαμε το πηλίκο - γράφεται κάτω από τον διαιρέτη:
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα όταν το πηλίκο αποδεικνύεται μηδενικό. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 9027 με το 9.
Καθορίζουμε το ημιτελές μέρισμα - αυτός είναι ο αριθμός 9. Γράφουμε το 1 στο πηλίκο και αφαιρούμε το 9 από το 9. Το υπόλοιπο είναι μηδέν. Συνήθως, αν στους ενδιάμεσους υπολογισμούς το υπόλοιπο είναι μηδέν, δεν καταγράφεται:
Αφαιρούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος - 0. Θυμόμαστε ότι όταν διαιρούμε το μηδέν με οποιονδήποτε αριθμό θα υπάρχει μηδέν. Γράφουμε μηδέν στο πηλίκο (0: 9 = 0) και αφαιρούμε το 0 από το 0 στους ενδιάμεσους υπολογισμούς Συνήθως, για να μην μπερδεύονται οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί, οι υπολογισμοί με το μηδέν δεν γράφονται.
Καταργούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος - 2. Σε ενδιάμεσους υπολογισμούς αποδείχθηκε ότι το ημιτελές μέρισμα (2) είναι μικρότερο από το διαιρέτη (9). Σε αυτήν την περίπτωση, γράψτε μηδέν στο πηλίκο και αφαιρέστε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος:
Καθορίζουμε πόσες φορές το 9 περιέχεται στον αριθμό 27. Παίρνουμε τον αριθμό 3, τον γράφουμε ως πηλίκο και αφαιρούμε το 27 από το 27. Το υπόλοιπο είναι μηδέν:
Δεδομένου ότι δεν έχουν απομείνει άλλα ψηφία στο μέρισμα, σημαίνει ότι ο αριθμός 9027 διαιρείται πλήρως με το 9:
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα όταν το μέρισμα τελειώνει σε μηδενικά. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 3000 με το 6.
Καθορίζουμε το ημιτελές μέρισμα - αυτός είναι ο αριθμός 30. Γράφουμε 5 στο πηλίκο και αφαιρούμε το 30 από το 30. Το υπόλοιπο είναι μηδέν. Όπως ήδη αναφέρθηκε, δεν είναι απαραίτητο να γράψετε μηδέν στο υπόλοιπο σε ενδιάμεσους υπολογισμούς:
Αφαιρούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος - 0. Εφόσον η διαίρεση του μηδενός με οποιονδήποτε αριθμό θα έχει ως αποτέλεσμα μηδέν, γράφουμε μηδέν στο πηλίκο και αφαιρούμε το 0 από το 0 στους ενδιάμεσους υπολογισμούς:
Καταργούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος - 0. Γράφουμε ένα άλλο μηδέν στο πηλίκο και αφαιρούμε το 0 από το 0 στους ενδιάμεσους υπολογισμούς, δεδομένου ότι στους ενδιάμεσους υπολογισμούς ο υπολογισμός με το μηδέν συνήθως δεν καταγράφεται, η εγγραφή μπορεί να συντομευτεί, αφήνοντας μόνο. το υπόλοιπο - 0. Το μηδέν στο υπόλοιπο στο τέλος του υπολογισμού συνήθως γράφεται για να δείξει ότι η διαίρεση έχει ολοκληρωθεί:
Δεδομένου ότι δεν έχουν απομείνει άλλα ψηφία στο μέρισμα, σημαίνει ότι το 3000 διαιρείται με το 6 πλήρως:
Διαίρεση στήλης με υπόλοιπο
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 1340 με το 23.
Καθορίζουμε το ημιτελές μέρισμα - αυτός είναι ο αριθμός 134. Γράφουμε το 5 στο πηλίκο και αφαιρούμε το 115 από το 134. Το υπόλοιπο είναι 19:
Αφαιρούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος - 0. Καθορίζουμε πόσες φορές το 23 περιέχεται στον αριθμό 190. Παίρνουμε τον αριθμό 8, τον γράφουμε στο πηλίκο και αφαιρούμε το 184 από το 190. Παίρνουμε το υπόλοιπο 6:
Δεδομένου ότι δεν έχουν απομείνει άλλα ψηφία στο μέρισμα, η διαίρεση έχει τελειώσει. Το αποτέλεσμα είναι ένα ατελές πηλίκο 58 και ένα υπόλοιπο 6:
1340: 23 = 58 (υπόλοιπο 6)
Απομένει να εξετάσουμε ένα παράδειγμα διαίρεσης με υπόλοιπο, όταν το μέρισμα είναι μικρότερο από το διαιρέτη. Ας πρέπει να διαιρέσουμε το 3 με το 10. Βλέπουμε ότι το 10 δεν περιέχεται ποτέ στον αριθμό 3, οπότε γράφουμε το 0 ως πηλίκο και αφαιρούμε το 0 από το 3 (10 · 0 = 0). Σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή και σημειώστε το υπόλοιπο - 3:
3: 10 = 0 (υπόλοιπο 3)
Αριθμομηχανή μεγάλης διαίρεσης
Αυτή η αριθμομηχανή θα σας βοηθήσει να εκτελέσετε μεγάλη διαίρεση. Απλώς εισάγετε το μέρισμα και τον διαιρέτη και κάντε κλικ στο κουμπί Υπολογισμός.
Η διαίρεση των φυσικών αριθμών, ιδιαίτερα των πολυψήφιων, πραγματοποιείται εύκολα με μια ειδική μέθοδο, η οποία ονομάζεται διαίρεση με στήλη (σε στήλη). Μπορείτε επίσης να βρείτε το όνομα γωνιακό τμήμα. Ας σημειώσουμε αμέσως ότι η στήλη μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για τη διαίρεση φυσικών αριθμών χωρίς υπόλοιπο όσο και για τη διαίρεση φυσικών αριθμών με ένα υπόλοιπο.
Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πόσο καιρό γίνεται η διαίρεση. Εδώ θα μιλήσουμε για κανόνες καταγραφής και όλους τους ενδιάμεσους υπολογισμούς. Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στη διαίρεση ενός πολυψήφιου φυσικού αριθμού με έναν μονοψήφιο αριθμό χρησιμοποιώντας μια στήλη. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε σε περιπτώσεις όπου τόσο το μέρισμα όσο και ο διαιρέτης είναι φυσικοί αριθμοί πολλαπλών τιμών. Ολόκληρη η θεωρία αυτού του άρθρου παρέχεται με χαρακτηριστικά παραδείγματα διαίρεσης με στήλη φυσικών αριθμών με λεπτομερείς εξηγήσεις της λύσης και απεικονίσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Κανόνες εγγραφής κατά τη διαίρεση με στήλη
Ας ξεκινήσουμε μελετώντας τους κανόνες για τη σύνταξη του μερίσματος, του διαιρέτη, όλων των ενδιάμεσων υπολογισμών και των αποτελεσμάτων κατά τη διαίρεση των φυσικών αριθμών με μια στήλη. Ας πούμε αμέσως ότι είναι πιο βολικό να κάνετε διαίρεση στηλών γραπτώς σε χαρτί με καρό γραμμή - με αυτόν τον τρόπο υπάρχει λιγότερη πιθανότητα να απομακρυνθείτε από την επιθυμητή γραμμή και στήλη.
Πρώτον, το μέρισμα και ο διαιρέτης γράφονται σε μία γραμμή από αριστερά προς τα δεξιά, μετά την οποία σχεδιάζεται ένα σύμβολο της φόρμας μεταξύ των γραπτών αριθμών. Για παράδειγμα, εάν το μέρισμα είναι ο αριθμός 6 105 και ο διαιρέτης είναι 5 5, τότε η σωστή καταχώρισή τους κατά τη διαίρεση σε μια στήλη θα είναι η εξής:
Κοιτάξτε το παρακάτω διάγραμμα για να δείξετε πού να γράψετε το μέρισμα, τον διαιρέτη, το πηλίκο, το υπόλοιπο και τους ενδιάμεσους υπολογισμούς στη μακροχρόνια διαίρεση.
Από το παραπάνω διάγραμμα είναι σαφές ότι το ζητούμενο πηλίκο (ή ημιτελές πηλίκο κατά τη διαίρεση με υπόλοιπο) θα γραφεί κάτω από τον διαιρέτη κάτω από την οριζόντια γραμμή. Και οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί θα πραγματοποιηθούν κάτω από το μέρισμα και πρέπει να φροντίσετε εκ των προτέρων για τη διαθεσιμότητα χώρου στη σελίδα. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να καθοδηγηθείτε από τον κανόνα: όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά στον αριθμό των χαρακτήρων στις εγγραφές του μερίσματος και του διαιρέτη, τόσο περισσότερος χώρος θα απαιτείται. Για παράδειγμα, όταν διαιρούμε με μια στήλη τον φυσικό αριθμό 614.808 με 51.234 (614.808 είναι εξαψήφιος αριθμός, 51.234 είναι πενταψήφιος αριθμός, η διαφορά στον αριθμό των χαρακτήρων στις εγγραφές είναι 6−5 = 1), ενδιάμεσος Οι υπολογισμοί θα απαιτήσουν λιγότερο χώρο από ό,τι κατά τη διαίρεση των αριθμών 8 058 και 4 (εδώ η διαφορά στον αριθμό των χαρακτήρων είναι 4−1=3). Για να επιβεβαιώσουμε τα λόγια μας, παρουσιάζουμε πλήρεις εγγραφές διαίρεσης με μια στήλη από αυτούς τους φυσικούς αριθμούς:
Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε απευθείας στη διαδικασία διαίρεσης των φυσικών αριθμών με μια στήλη.
Διαίρεση στήλης φυσικού αριθμού με μονοψήφιο φυσικό αριθμό, αλγόριθμος διαίρεσης στήλης
Είναι σαφές ότι η διαίρεση ενός μονοψήφιου φυσικού αριθμού με έναν άλλο είναι αρκετά απλή και δεν υπάρχει λόγος να διαιρέσουμε αυτούς τους αριθμούς σε στήλη. Ωστόσο, θα είναι χρήσιμο να εξασκήσετε τις αρχικές σας δεξιότητες μακράς διαίρεσης με αυτά τα απλά παραδείγματα.
Παράδειγμα.
Ας πρέπει να διαιρέσουμε με μια στήλη 8 με 2.
Διάλυμα.
Φυσικά, μπορούμε να κάνουμε διαίρεση χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού και να γράψουμε αμέσως την απάντηση 8:2=4.
Αλλά μας ενδιαφέρει πώς να διαιρέσουμε αυτούς τους αριθμούς με μια στήλη.
Αρχικά, γράφουμε το μέρισμα 8 και το διαιρέτη 2 όπως απαιτείται από τη μέθοδο:
Τώρα αρχίζουμε να ανακαλύπτουμε πόσες φορές ο διαιρέτης περιέχεται στο μέρισμα. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά τον διαιρέτη με τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, ... έως ότου το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός ίσος με το μέρισμα (ή ένας αριθμός μεγαλύτερος από το μέρισμα, εάν υπάρχει διαίρεση με υπόλοιπο ). Αν πάρουμε έναν αριθμό ίσο με το μέρισμα, τότε τον γράφουμε αμέσως κάτω από το μέρισμα και στη θέση του πηλίκου γράφουμε τον αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάσαμε τον διαιρέτη. Αν πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από το μέρισμα, τότε κάτω από τον διαιρέτη γράφουμε τον αριθμό που υπολογίστηκε στο προτελευταίο βήμα και στη θέση του ημιτελούς πηλίκου γράφουμε τον αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάστηκε ο διαιρέτης στο προτελευταίο βήμα.
Πάμε: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Έχουμε λάβει έναν αριθμό ίσο με το μέρισμα, οπότε τον γράφουμε κάτω από το μέρισμα και στη θέση του πηλίκου γράφουμε τον αριθμό 4. Σε αυτήν την περίπτωση, η εγγραφή θα έχει την ακόλουθη μορφή:
Το τελικό στάδιο της διαίρεσης μονοψήφιων φυσικών αριθμών με στήλη παραμένει. Κάτω από τον αριθμό που είναι γραμμένος κάτω από το μέρισμα, πρέπει να σχεδιάσετε μια οριζόντια γραμμή και να αφαιρέσετε τους αριθμούς πάνω από αυτήν τη γραμμή με τον ίδιο τρόπο που γίνεται κατά την αφαίρεση φυσικών αριθμών σε μια στήλη. Ο αριθμός που προκύπτει από την αφαίρεση θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Αν είναι ίσο με μηδέν, τότε οι αρχικοί αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο.
Στο παράδειγμά μας παίρνουμε
Τώρα έχουμε μπροστά μας μια ολοκληρωμένη καταγραφή της διαίρεσης στηλών του αριθμού 8 με 2. Βλέπουμε ότι το πηλίκο του 8:2 είναι 4 (και το υπόλοιπο είναι 0).
Απάντηση:
8:2=4 .
Τώρα ας δούμε πώς μια στήλη διαιρεί μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς με ένα υπόλοιπο.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το 7 με το 3 χρησιμοποιώντας μια στήλη.
Διάλυμα.
Στο αρχικό στάδιο, η καταχώρηση μοιάζει με αυτό:
Αρχίζουμε να ανακαλύπτουμε πόσες φορές το μέρισμα περιέχει τον διαιρέτη. Θα πολλαπλασιάσουμε το 3 με το 0, 1, 2, 3 κ.λπ. μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό ίσο ή μεγαλύτερο από το μέρισμα 7. Παίρνουμε 3·0=0<7
; 3·1=3<7
; 3·2=6<7
; 3·3=9>7 (αν χρειάζεται, ανατρέξτε στο άρθρο σύγκρισης φυσικών αριθμών). Κάτω από το μέρισμα γράφουμε τον αριθμό 6 (λήφθηκε στο προτελευταίο βήμα) και στη θέση του ημιτελούς πηλίκου γράφουμε τον αριθμό 2 (ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιήθηκε από αυτό στο προτελευταίο βήμα).
Απομένει να γίνει η αφαίρεση και θα ολοκληρωθεί η διαίρεση με μια στήλη μονοψήφιων φυσικών αριθμών 7 και 3.
Έτσι, το μερικό πηλίκο είναι 2 και το υπόλοιπο είναι 1.
Απάντηση:
7:3=2 (ξεκούραση 1) .
Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε στη διαίρεση πολυψήφιων φυσικών αριθμών με στήλες σε μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Τώρα θα το καταλάβουμε αλγόριθμος μακράς διαίρεσης. Σε κάθε στάδιο, θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν διαιρώντας τον πολυψήφιο φυσικό αριθμό 140.288 με τον μονοψήφιο φυσικό αριθμό 4. Αυτό το παράδειγμα δεν επιλέχθηκε τυχαία, αφού κατά την επίλυσή του θα συναντήσουμε όλες τις πιθανές αποχρώσεις και θα μπορούμε να τις αναλύσουμε λεπτομερώς.
Αρχικά κοιτάμε το πρώτο ψηφίο στα αριστερά στον συμβολισμό μερίσματος. Εάν ο αριθμός που ορίζεται από αυτό το σχήμα είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη, τότε στην επόμενη παράγραφο πρέπει να δουλέψουμε με αυτόν τον αριθμό. Εάν αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από τον διαιρέτη, τότε πρέπει να προσθέσουμε στην αντιπαροχή το επόμενο ψηφίο στα αριστερά στη σημείωση του μερίσματος και να συνεχίσουμε να εργαζόμαστε με τον αριθμό που καθορίζεται από τα δύο ψηφία που εξετάζουμε. Για ευκολία, επισημαίνουμε στη σημείωση μας τον αριθμό με τον οποίο θα εργαστούμε.
Το πρώτο ψηφίο από τα αριστερά στη σημείωση του μερίσματος 140288 είναι το ψηφίο 1. Ο αριθμός 1 είναι μικρότερος από τον διαιρέτη 4, επομένως κοιτάμε και το επόμενο ψηφίο στα αριστερά στη σημειογραφία του μερίσματος. Ταυτόχρονα, βλέπουμε τον αριθμό 14, με τον οποίο πρέπει να δουλέψουμε περαιτέρω. Τονίζουμε αυτόν τον αριθμό στη σημείωση του μερίσματος.
Τα παρακάτω βήματα από το δεύτερο έως το τέταρτο επαναλαμβάνονται κυκλικά μέχρι να ολοκληρωθεί η διαίρεση των φυσικών αριθμών με μια στήλη.
Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε πόσες φορές περιέχεται ο διαιρέτης στον αριθμό με τον οποίο εργαζόμαστε (για ευκολία, ας συμβολίσουμε αυτόν τον αριθμό ως x). Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά τον διαιρέτη με το 0, 1, 2, 3, ... μέχρι να πάρουμε τον αριθμό x ή έναν αριθμό μεγαλύτερο του x. Όταν ληφθεί ο αριθμός x, τον γράφουμε κάτω από τον επισημασμένο αριθμό σύμφωνα με τους κανόνες εγγραφής που χρησιμοποιούνται κατά την αφαίρεση φυσικών αριθμών σε μια στήλη. Ο αριθμός με τον οποίο πραγματοποιήθηκε ο πολλαπλασιασμός γράφεται στη θέση του πηλίκου κατά το πρώτο πέρασμα του αλγορίθμου (σε επόμενα περάσματα 2-4 σημείων του αλγορίθμου, αυτός ο αριθμός γράφεται στα δεξιά των αριθμών που υπάρχουν ήδη). Όταν πάρουμε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό x, τότε κάτω από τον επισημασμένο αριθμό γράφουμε τον αριθμό που προκύπτει στο προτελευταίο βήμα και στη θέση του πηλίκου (ή στα δεξιά των αριθμών που υπάρχουν ήδη) γράφουμε τον αριθμό με που ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιήθηκε στο προτελευταίο βήμα. (Πραγματοποιήσαμε παρόμοιες ενέργειες στα δύο παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω).
Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη 4 με τους αριθμούς 0, 1, 2, ... μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό ίσο με 14 ή μεγαλύτερο από 14. Έχουμε 4·0=0<14
, 4·1=4<14
, 4·2=8<14
, 4·3=12<14
, 4·4=16>14. Αφού στο τελευταίο βήμα λάβαμε τον αριθμό 16, που είναι μεγαλύτερος του 14, τότε κάτω από τον επισημασμένο αριθμό γράφουμε τον αριθμό 12, που προέκυψε στο προτελευταίο βήμα και στη θέση του πηλίκου γράφουμε τον αριθμό 3, αφού στο το προτελευταίο σημείο ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιήθηκε ακριβώς από αυτό.
Σε αυτό το στάδιο, από τον επιλεγμένο αριθμό, αφαιρέστε τον αριθμό που βρίσκεται κάτω από αυτόν χρησιμοποιώντας μια στήλη. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης γράφεται κάτω από την οριζόντια γραμμή. Ωστόσο, εάν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι μηδέν, τότε δεν χρειάζεται να γραφτεί (εκτός εάν η αφαίρεση σε αυτό το σημείο είναι η τελευταία ενέργεια που ολοκληρώνει πλήρως τη διαδικασία της μακράς διαίρεσης). Εδώ, για τον δικό σας έλεγχο, δεν θα ήταν λάθος να συγκρίνετε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης με τον διαιρέτη και να βεβαιωθείτε ότι είναι μικρότερο από το διαιρέτη. Διαφορετικά, κάπου έγινε ένα λάθος.
Πρέπει να αφαιρέσουμε τον αριθμό 12 από τον αριθμό 14 με μια στήλη (για την ορθότητα της εγγραφής, πρέπει να θυμηθούμε να βάλουμε ένα σύμβολο μείον στα αριστερά των αριθμών που αφαιρούνται). Μετά την ολοκλήρωση αυτής της ενέργειας, ο αριθμός 2 εμφανίστηκε κάτω από την οριζόντια γραμμή. Τώρα ελέγχουμε τους υπολογισμούς μας συγκρίνοντας τον αριθμό που προκύπτει με τον διαιρέτη. Δεδομένου ότι ο αριθμός 2 είναι μικρότερος από τον διαιρέτη 4, μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στο επόμενο σημείο.
Τώρα, κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά των αριθμών που βρίσκονται εκεί (ή στα δεξιά του τόπου όπου δεν σημειώσαμε το μηδέν), σημειώνουμε τον αριθμό που βρίσκεται στην ίδια στήλη στη σημειογραφία του μερίσματος. Εάν δεν υπάρχουν αριθμοί στην εγγραφή του μερίσματος σε αυτήν τη στήλη, τότε η διαίρεση με στήλη τελειώνει εκεί. Μετά από αυτό, επιλέγουμε τον αριθμό που σχηματίζεται κάτω από την οριζόντια γραμμή, τον αποδεχόμαστε ως αριθμό εργασίας και επαναλαμβάνουμε τα σημεία 2 έως 4 του αλγορίθμου με αυτόν.
Κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά του αριθμού 2 που υπάρχει ήδη, σημειώνουμε τον αριθμό 0, καθώς είναι ο αριθμός 0 που βρίσκεται στην εγγραφή του μερίσματος 140.288 σε αυτήν τη στήλη. Έτσι, ο αριθμός 20 σχηματίζεται κάτω από την οριζόντια γραμμή.
Επιλέγουμε αυτόν τον αριθμό 20, τον παίρνουμε ως αριθμό εργασίας και επαναλαμβάνουμε μαζί του τις ενέργειες του δεύτερου, του τρίτου και του τέταρτου σημείου του αλγορίθμου.
Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη 4 με το 0, 1, 2, ... μέχρι να πάρουμε τον αριθμό 20 ή έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος του 20. Έχουμε 4·0=0<20
, 4·1=4<20
, 4·2=8<20
, 4·3=12<20
, 4·4=16<20
, 4·5=20
. Так как мы получили число, равное числу 20
, то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3
записываем число 5
(на него производилось умножение).
Πραγματοποιούμε την αφαίρεση σε στήλη. Εφόσον αφαιρούμε ίσους φυσικούς αριθμούς, τότε λόγω της ιδιότητας της αφαίρεσης ίσων φυσικών αριθμών, το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Δεν σημειώνουμε το μηδέν (καθώς αυτό δεν είναι το τελικό στάδιο της διαίρεσης με στήλη), αλλά θυμόμαστε το μέρος όπου μπορούσαμε να το γράψουμε (για ευκολία, θα σημειώσουμε αυτό το μέρος με ένα μαύρο ορθογώνιο).
Κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά της θέσης που θυμάστε, σημειώνουμε τον αριθμό 2, καθώς είναι ακριβώς αυτός που βρίσκεται στην εγγραφή του μερίσματος 140.288 σε αυτήν τη στήλη. Έτσι, κάτω από την οριζόντια γραμμή έχουμε τον αριθμό 2.
Παίρνουμε τον αριθμό 2 ως αριθμό εργασίας, τον σημειώνουμε και θα πρέπει για άλλη μια φορά να εκτελέσουμε τις ενέργειες 2-4 σημείων του αλγορίθμου.
Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το 0, 1, 2 και ούτω καθεξής και συγκρίνουμε τους αριθμούς που προκύπτουν με τον σημειωμένο αριθμό 2. Έχουμε 4·0=0<2
, 4·1=4>2. Επομένως, κάτω από τον σημειωμένο αριθμό γράφουμε τον αριθμό 0 (λήφθηκε στο προτελευταίο βήμα) και στη θέση του πηλίκου στα δεξιά του αριθμού που υπάρχει ήδη γράφουμε τον αριθμό 0 (πολλαπλασιάσαμε με το 0 στο προτελευταίο βήμα ).
Εκτελούμε την αφαίρεση σε μια στήλη, παίρνουμε τον αριθμό 2 κάτω από την οριζόντια γραμμή. Ελέγχουμε τον εαυτό μας συγκρίνοντας τον αριθμό που προκύπτει με τον διαιρέτη 4. Από 2<4
, то можно спокойно двигаться дальше.
Κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά του αριθμού 2, προσθέστε τον αριθμό 8 (καθώς βρίσκεται σε αυτήν τη στήλη στην καταχώρηση για το μέρισμα 140 288). Έτσι, ο αριθμός 28 εμφανίζεται κάτω από την οριζόντια γραμμή.
Λαμβάνουμε αυτόν τον αριθμό ως αριθμό εργασίας, τον επισημαίνουμε και επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2-4.
Δεν θα πρέπει να υπάρχουν προβλήματα εδώ, αν είστε προσεκτικοί μέχρι τώρα. Έχοντας ολοκληρώσει όλα τα απαραίτητα βήματα, προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα.
Το μόνο που μένει είναι να εκτελέσετε τα βήματα από τα σημεία 2, 3, 4 για τελευταία φορά (το αφήνουμε σε εσάς), μετά από την οποία θα έχετε μια πλήρη εικόνα της διαίρεσης των φυσικών αριθμών 140,288 και 4 σε μια στήλη:
Σημειώστε ότι ο αριθμός 0 είναι γραμμένος στην κάτω γραμμή. Αν αυτό δεν ήταν το τελευταίο βήμα της διαίρεσης με μια στήλη (δηλαδή, αν στην εγγραφή του μερίσματος έμειναν αριθμοί στις στήλες στα δεξιά), τότε δεν θα γράφαμε αυτό το μηδέν.
Έτσι, κοιτάζοντας την ολοκληρωμένη εγγραφή της διαίρεσης του πολυψήφιου φυσικού αριθμού 140.288 με τον μονοψήφιο φυσικό αριθμό 4, βλέπουμε ότι το πηλίκο είναι ο αριθμός 35.072 (και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι μηδέν, βρίσκεται στο κάτω μέρος γραμμή).
Φυσικά, όταν διαιρείτε φυσικούς αριθμούς με μια στήλη, δεν θα περιγράψετε όλες τις ενέργειές σας με τόση λεπτομέρεια. Οι λύσεις σας θα μοιάζουν με τα ακόλουθα παραδείγματα.
Παράδειγμα.
Εκτελέστε μεγάλη διαίρεση εάν το μέρισμα είναι 7 136 και ο διαιρέτης είναι μονοψήφιος φυσικός αριθμός 9.
Διάλυμα.
Στο πρώτο βήμα του αλγορίθμου για τη διαίρεση φυσικών αριθμών με στήλες, παίρνουμε μια εγγραφή της φόρμας
Αφού εκτελέσετε τις ενέργειες από το δεύτερο, τρίτο και τέταρτο σημείο του αλγορίθμου, η εγγραφή διαίρεσης στηλών θα λάβει τη μορφή
Επαναλαμβάνοντας τον κύκλο, θα έχουμε
Ένα ακόμη πέρασμα θα μας δώσει μια πλήρη εικόνα της διαίρεσης στηλών των φυσικών αριθμών 7.136 και 9
Έτσι, το μερικό πηλίκο είναι 792 και το υπόλοιπο είναι 8.
Απάντηση:
7 136:9=792 (υπόλοιπο 8) .
Και αυτό το παράδειγμα δείχνει πώς πρέπει να μοιάζει η διαίρεση μεγάλης διάρκειας.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε τον φυσικό αριθμό 7.042.035 με τον μονοψήφιο φυσικό αριθμό 7.
Διάλυμα.
Ο πιο βολικός τρόπος διαίρεσης είναι με στήλη. 
Απάντηση:
7 042 035:7=1 006 005 .
Διαίρεση στηλών πολυψήφιων φυσικών αριθμών
Ας σπεύσουμε να σας ευχαριστήσουμε: εάν έχετε κατακτήσει πλήρως τον αλγόριθμο διαίρεσης στηλών από την προηγούμενη παράγραφο αυτού του άρθρου, τότε σχεδόν ήδη γνωρίζετε πώς να εκτελέσετε διαίρεση στήλης πολυψήφιων φυσικών αριθμών. Αυτό ισχύει, καθώς τα στάδια 2 έως 4 του αλγορίθμου παραμένουν αμετάβλητα και μόνο μικρές αλλαγές εμφανίζονται στο πρώτο σημείο.
Στο πρώτο στάδιο της διαίρεσης πολυψήφιων φυσικών αριθμών σε μια στήλη, δεν πρέπει να κοιτάξετε το πρώτο ψηφίο στα αριστερά στη σημείωση του μερίσματος, αλλά τον αριθμό τους ίσο με τον αριθμό των ψηφίων που περιέχονται στη σημείωση του διαιρέτη. Εάν ο αριθμός που ορίζεται από αυτούς τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη, τότε στην επόμενη παράγραφο πρέπει να δουλέψουμε με αυτόν τον αριθμό. Εάν αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από τον διαιρέτη, τότε πρέπει να προσθέσουμε στην αντιπαροχή το επόμενο ψηφίο στα αριστερά στη σημειογραφία του μερίσματος. Μετά από αυτό, εκτελούνται οι ενέργειες που καθορίζονται στις παραγράφους 2, 3 και 4 του αλγορίθμου μέχρι να ληφθεί το τελικό αποτέλεσμα.
Το μόνο που μένει είναι να δούμε την εφαρμογή του αλγορίθμου διαίρεσης στηλών για φυσικούς αριθμούς πολλαπλών τιμών στην πράξη κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα.
Ας εκτελέσουμε διαίρεση στηλών πολυψήφιων φυσικών αριθμών 5.562 και 206.
Διάλυμα.
Δεδομένου ότι ο διαιρέτης 206 περιέχει 3 ψηφία, εξετάζουμε τα πρώτα 3 ψηφία στα αριστερά στο μέρισμα 5.562. Αυτοί οι αριθμοί αντιστοιχούν στον αριθμό 556. Επειδή το 556 είναι μεγαλύτερο από τον διαιρέτη 206, παίρνουμε τον αριθμό 556 ως αριθμό εργασίας, τον επιλέγουμε και προχωράμε στο επόμενο στάδιο του αλγορίθμου.
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη 206 με τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, ... μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό που είναι είτε ίσος με 556 είτε μεγαλύτερος από 556. Έχουμε (αν ο πολλαπλασιασμός είναι δύσκολος, τότε είναι καλύτερο να πολλαπλασιάσουμε τους φυσικούς αριθμούς σε μια στήλη): 206 0 = 0<556
, 206·1=206<556
, 206·2=412<556
, 206·3=618>556. Δεδομένου ότι λάβαμε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό 556, τότε κάτω από τον επισημασμένο αριθμό γράφουμε τον αριθμό 412 (λήφθηκε στο προτελευταίο βήμα) και στη θέση του πηλίκου γράφουμε τον αριθμό 2 (αφού πολλαπλασιάσαμε με αυτόν στο προτελευταίο βήμα). Η καταχώρηση διαίρεσης στήλης έχει την ακόλουθη μορφή:
Εκτελούμε αφαίρεση στήλης. Λαμβάνουμε τη διαφορά 144, αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από τον διαιρέτη, ώστε να μπορείτε να συνεχίσετε με ασφάλεια τις απαιτούμενες ενέργειες.
Κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά του αριθμού εκεί γράφουμε τον αριθμό 2, αφού βρίσκεται στην εγγραφή του μερίσματος 5562 σε αυτή τη στήλη:
Τώρα δουλεύουμε με τον αριθμό 1.442, τον επιλέγουμε και περνάμε ξανά από τα βήματα δύο έως τέσσερα.
Πολλαπλασιάστε τον διαιρέτη 206 με το 0, 1, 2, 3, ... μέχρι να πάρετε τον αριθμό 1442 ή έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 1442. Πάμε: 206·0=0<1 442
, 206·1=206<1 442
, 206·2=412<1 332
, 206·3=618<1 442
, 206·4=824<1 442
, 206·5=1 030<1 442
, 206·6=1 236<1 442
, 206·7=1 442
. Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442
, а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7
:
Πραγματοποιούμε την αφαίρεση σε μια στήλη, παίρνουμε μηδέν, αλλά δεν το γράφουμε αμέσως, απλώς θυμόμαστε τη θέση της, γιατί δεν ξέρουμε αν η διαίρεση τελειώνει εδώ ή αν θα πρέπει να επαναλάβουμε τα βήματα του αλγορίθμου πάλι:
Τώρα βλέπουμε ότι δεν μπορούμε να γράψουμε κανέναν αριθμό κάτω από την οριζόντια γραμμή στα δεξιά της θέσης που θυμόμαστε, αφού δεν υπάρχουν ψηφία στην εγγραφή του μερίσματος σε αυτήν τη στήλη. Επομένως, αυτό ολοκληρώνει τη διαίρεση ανά στήλη και ολοκληρώνουμε την καταχώρηση:
- Μαθηματικά. Τυχόν εγχειρίδια για Α', Β', Γ', Δ' τάξεις γενικής εκπαίδευσης.
- Μαθηματικά. Τυχόν εγχειρίδια για την Ε' τάξη των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
Απλοί ή σύνθετοι πολυψήφιοι αριθμοί χωρίζοντας τη διαίρεση σε μια σειρά απλούστερων βημάτων. Όπως συμβαίνει με όλα τα προβλήματα διαίρεσης, ένας αριθμός, που ονομάζεται μέρισμα, διαιρείται με έναν άλλο, που ονομάζεται διαιρέτης, παράγοντας ένα αποτέλεσμα που ονομάζεται πηλίκο. Αυτή η μέθοδος σάς επιτρέπει να εκτελέσετε διαίρεση αυθαίρετα μεγάλων αριθμών σπάζοντας τη διαδικασία σε μια σειρά από διαδοχικά, απλά βήματα.
Εγκυκλοπαιδικό YouTube
1 / 3
✪ Διαίρεση στηλών ακεραίων - μαθηματικά | uchim.org
✪ Διαίρεση στηλών
✪ Διαίρεση στηλών
Υπότιτλοι
Ονομασία σε Ρωσία, Καζακστάν, Κιργιστάν, Γαλλία, Βέλγιο, Ισπανία, Ουκρανία, Λευκορωσία, Μολδαβία, Γεωργία, Τατζικιστάν, Ουζμπεκιστάν, Μογγολία
Στη Ρωσία, ο διαιρέτης βρίσκεται στα δεξιά του μερίσματος, που χωρίζεται από αυτό με μια κάθετη γραμμή. Η διαίρεση εμφανίζεται επίσης σε μια στήλη, αλλά το πηλίκο (αποτέλεσμα) γράφεται κάτω από τον διαιρέτη και χωρίζεται από αυτόν με μια οριζόντια γραμμή.
8420│4 500│4 -8 │2105 -4 │125 4 10 - 4 - 8 20 20 - 20 -20 0 0
Ονομασία στη Γερμανία
- Ορισμένες ευρωπαϊκές χώρες χρησιμοποιούν διαφορετική ονομασία. Ο υπολογισμός είναι ακριβώς ο ίδιος, αλλά γράφεται διαφορετικά, όπως φαίνεται στο παράδειγμα:
127 ÷ 4 = 31,75 (12 - 12 = 0 που γράφεται στην επόμενη γραμμή) 07 (το επτά μεταφέρεται από το μέρισμα 127) 4 2 8 20 (5 × 4 = 20) 0
Ονομασία στην Ολλανδία
Ο υπολογισμός είναι ακριβώς ο ίδιος, αλλά γράφεται διαφορετικά (ο διαιρέτης βρίσκεται στα αριστερά του μερίσματος), όπως φαίνεται στο παράδειγμα της διαίρεσης του 135 με το 11 (με αποτέλεσμα 12 και υπόλοιπο 3):
11 / 135 \ 12 11 -- 25 22 -- 3
Ονομασία στην Αμερική και τη Μεγάλη Βρετανία
Κατά τη διαίρεση σε χαρτί, μην χρησιμοποιείτε τα σύμβολα κάθετου (/) ή obelus (÷). Αντίθετα, το μέρισμα, ο διαιρέτης και το πηλίκο (ενώ λύνονται) ταξινομούνται σε έναν πίνακα. Παράδειγμα διαίρεσης 500 με 4 (με αποτέλεσμα 125):
1 2 5 (Εξήγηση) 4|500 4 (4 × 1 = 4) 1 0 (5 - 4 = 1) 8 (4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2) 20 (4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)Παράδειγμα διαίρεσης με υπόλοιπο:
31.75 4|127 12 (12 - 12 = 0 που γράφεται στην επόμενη γραμμή) 07 (το επτά μεταφέρεται από το μέρισμα 127) 4 3,0 (3 είναι το υπόλοιπο, το οποίο διαιρείται με το 4 για να πάρει 0,75) 2 8 (7 × 4 = 28) 20 (μεταφερόμενο επιπλέον μηδέν) 20 (5 × 4 = 20) 0- Αρχικά, κοιτάξτε το μέρισμα (127) για να προσδιορίσετε εάν ο διαιρέτης (4) μπορεί να αφαιρεθεί από αυτό (στην περίπτωσή μας δεν μπορεί, αφού έχουμε ένα ως πρώτο ψηφίο και δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αρνητικούς αριθμούς, επομένως δεν μπορούμε να γράψουμε − 3 )
- Εάν το πρώτο ψηφίο δεν είναι αρκετά μεγάλο, παίρνουμε και το επόμενο ψηφίο μαζί του. Έτσι, έχουμε πλέον τον αριθμό 12 στη διάθεσή μας ως πρώτο αριθμό.
- Πάρτε τον μέγιστο αριθμό τεσσάρων που μπορεί να αφαιρεθεί από τον πρώτο αριθμό. Στην περίπτωσή μας, 3 τέσσερα μπορούν να αφαιρεθούν από το 12
- Στο πηλίκο (πάνω από το δεύτερο ψηφίο του μερίσματος, αφού αυτό είναι το τελευταίο ψηφίο που χρησιμοποιείται), γράψτε τα τρία που προκύπτουν και κάτω από το μέρισμα τον αριθμό 12
- Αφαιρέστε το 12 που γράψατε από τον αντίστοιχο αριθμό πάνω από αυτό (το αποτέλεσμα θα είναι φυσικά 0)
- Επαναλάβετε το πρώτο βήμα
- Επειδή το 0 δεν είναι κατάλληλος αριθμός για το μέρισμα, μετακινήστε το επόμενο ψηφίο από το μέρισμα (7). Το αποτέλεσμα θα είναι 07
- Επαναλάβετε τα βήματα 3, 4 και 7
- Θα έχετε 31 ως πηλίκο, 3 ως υπόλοιπο, και όχι περισσότερο στο μέρισμα.
- Μπορείτε να συνεχίσετε τη διαίρεση, παίρνοντας ένα δεκαδικό κλάσμα στο πηλίκο: προσθέστε μια τελεία στο πηλίκο στα δεξιά και ένα μηδέν στο υπόλοιπο (3) στα δεξιά και συνεχίστε τη διαίρεση, προσθέτοντας ένα μηδέν όποτε το μέρισμα είναι μικρότερο από το διαιρέτης (4)